《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版盐城专版》

4. 在△ABC中,∠BAC= 90°,D为△ABC内一点,连接DA,DC,延长DA到点E,使得AE= AD.
(1)如图①,延长CA到点F,使得AF= AC,连接BF,EF. 若BF⊥EF,求证：CD⊥BF；
(2)如图②,连接BE,交CD的延长线于点H,若$BC^2= BE^2+CD^2,$试判

断

CD与BE的位置关系,并证明.

答案：
4.
(1)证明:在△ACD和△AFE中，$\begin{cases}AD=AE\\∠CAD=∠FAE\\AC=AF\end{cases}$
∴△ACD≌△AFE(SAS),
∴∠DCA=∠EFA,
∴CD//EF.
∵BF⊥EF,
∴CD⊥BF.
(2)解:CD⊥BE.
证明:如答图，延长CA到点F,使AF=AC,连接BF,EF;

∵BA⊥CF,AC=AF,
∴BC=BF,
由
(1)可知△ACD≌△AFE,
∴CD=EF.
∵BC²=BE²+CD²,
∴BF²=BE²+EF²,
∴△BEF是直角三角形,∠BEF=90°,
∴BE⊥EF.
又CD//EF,
∴CD⊥BE.

5. 我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称这个四边形为勾股四边形,这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.
(1)如图①,请你在方格图中画出以格点为顶点,CA,CB为勾股边,且对角线相等的所有勾股四边形CAMB；
(2)如图②,以△ABC的边AB为边作等边△ABD,∠CBE= 60°,且BE= BC,连接DE,DC,∠DCB= 30°. 求证：$DC^2+BC^2= AC^2,$即四边形ABCD是勾股四边形.

答案：
5.
(1)解:如答图①,

(2)证明:
∵△ABD为等边三角形,
∴AB=BD,∠ABD=60°.
∵∠CBE=60°,
∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC,即∠ABC=∠DBE;
又BC=BE,
∴△ABC≌△DBE,
∴AC=DE.
如答图②，连接EC,则△BCE为等边三角形，
∴BC=CE,∠BCE=60°.
∵∠DCB=30°,
∴∠DCE=90°.
在Rt△DCE中,DC²+CE²=DE²,
∴DC²+BC²=AC²,即四边形ABCD是勾股四边形.