《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版盐城专版》

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$BD是AC$边上的中线,$DB\perp BC于点B$,$\angle ABD = 30^{\circ}$。求证：$AB = 2BC$。

答案：
证明:如答图,延长BD到点M,使DM=BD,连接AM.
∵DB⊥BC,
∴∠DBC=90°.
∵BD是AC边上的中线,
∴AD=CD.
在△ADM和△CDB中,$\left\{\begin{array}{l} AD=CD,\\ ∠ADM=∠CDB,\\ DM=DB,\end{array}\right. $
∴△ADM≌△CDB(SAS),
∴AM=BC,∠M=∠DBC=90°.
在Rt△ABM中,∠ABD=30°,
∴AB=2AM,
∴AB=2BC.

2. 如图,$CE$,$CB分别是\triangle ABC与\triangle ADC$的中线,且$\angle ACB= \angle ABC$。求证：$CD = 2CE$。

答案：
证明:如答图,延长CE到点F,使EF=EC,连接BF,
∴CF=2CE.
∵CE是△ABC的中线,
∴AE=BE.
在△ACE和△BFE中,$\left\{\begin{array}{l} AE=BE,\\ ∠AEC=∠BEF,\\ CE=FE,\end{array}\right. $
∴△ACE≌△BFE(SAS),
∴AC=BF,∠A=∠ABF.
又∠ACB=∠ABC,CB是△ADC的中线,
∴AC=AB=BD=BF.
∵∠DBC=∠A+∠ACB=∠ABF+∠ABC,
∴∠DBC=∠FBC.
在△DBC和△FBC中,$\left\{\begin{array}{l} DB=FB,\\ ∠DBC=∠FBC,\\ BC=BC,\end{array}\right. $
∴△DBC≌△FBC(SAS),
∴CD=CF=2CE.

3. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B = 90^{\circ}$,$AB = 2$,$AD是\triangle ABC$的中线,$CE\perp BC$,$CE = 4$,且$\angle ADE = 90^{\circ}$,求$AE$的长。

答案：
解:如答图,延长AD交EC的延长线于点F.

∵CE⊥BC,
∴∠BCE=∠FCD=90°,
∴∠ABD=∠FCD.
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD.
在△ABD和△FCD中,$\left\{\begin{array}{l} ∠ABD=∠FCD,\\ BD=CD,\\ ∠ADB=∠FDC,\end{array}\right. $
∴△ABD≌△FCD(ASA),
∴CF=AB=2,AD=DF.
∵∠ADE=90°,
∴AE=EF.
∵EF=CE+CF=4+2=6,
∴AE=6.