《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版盐城专版》

4. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$AD\perp BC$,垂足为$D$,$CE\perp AB$,垂足为$E$,$AE = CE$. 求证：(1)$\triangle AEF\cong \triangle CEB$；(2)$AF = 2CD$.

答案： 4. 证明:
(1)
∵AD⊥BC,
∴∠B+∠BAD=90°.
∵CE⊥AB,
∴∠AEC=∠BEC=90°,
∴∠B+∠BCE=90°,
∴∠EAF=∠ECB.
在△AEF和△CEB中,{∠AEF=∠CEB,AE=CE,∠EAF=∠ECB,
∴△AEF≌△CEB(ASA).
(2)
∵△AEF≌△CEB,
∴AF=BC;
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴CD=BD,
∴BC=2CD,
∴AF=2CD.

5. 如图,在$\triangle DBC$中,$DB = DC$,$A为\triangle DBC$外一点,且$\angle BAC = \angle BDC$,$DM\perp AC于点M$,求$\frac{AC - AB}{AM}$的值.

答案：
5. 解:如答图，在AC上截取CF=AB,连接AD,DF,设AC 与BD相交于点E.在△ABE与△CDE中，
∵∠BAC=∠BDC,∠AEB=∠DEC,
∴∠ABD=∠DCA.
在△DCF和△DBA中,{DC=DB,∠DCF=∠DBA,CF=BA,
∴△DCF≌△DBA(SAS),
∴DF=DA.又
∵DM⊥AF,
∴AM=MF,
∴AC−AB=AC−CF=AF=2AM,
∴$\frac{AC−AB}{AM}$=2.
　　　　　　　　

6. 已知$Rt\triangle BEF和等腰Rt\triangle ABC有一个公共的顶点B$,斜边在同一条直线上,且$\angle BFE = \frac{1}{2}\angle ACB$.
(1) 如图①,若顶点$C与顶点F$也重合,试探究线段$BE和DF$的数量关系,并证明；
(2) 如图②,若顶点$C与顶点F$不重合,(1)中的结论还成立吗？证明你的结论.

答案：
6. 解:
(1)DF=2BE.
　证明:如答图①,延长BE交CA的延长线于点K，则∠BEF=∠KEF=90°.
　　　　　　　　
∵∠BFE=$\frac{1}{2}$∠ACB,
∴∠FBE=∠FKE,
∴CB=CK,
∴BE=KE;
∵∠BAK=∠CAD=∠CEK=90°,
∴∠ABK+∠K=90°,∠ACE+∠K=90°,
∴∠ABK=∠ACD.
又AB=AC,
∴△BAK≌△CAD(ASA),
∴CD=BK.
∵BK=2BE,
∴CD=2BE,即DF=2BE.
(2)
(1)中的结论还成立.
证明:如答图②,作FK//CA交BE的延长线于点K,交AB于点J.
　　　　　　
∵FK//AC,
∴∠FJB=∠A=90°,∠BFK=∠BCA.
∵∠JBF=45°,
∴△BJF是等腰直角三角形.
∵∠BFE=$\frac{1}{2}$∠ACB,
∴∠BFE=$\frac{1}{2}$∠BFJ,
同理
(1)可知DF=2BE.