《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版盐城专版》

7. 如图, 在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90^{\circ} $, $ AB = 10 $, $ AC = 8 $, $ BC = 6 $, 线段 $ DE $ 的两个端点 $ D, E $ 分别在边 $ AC, BC $ 上滑动, 且 $ DE = 4 $, 若 $ M, N $ 分别是 $ DE, AB $ 的中点, 则 $ MN $ 的最小值为 (B)

A.2
B.3
C.3.5
D.4

答案： B

8. (2024·射阳县月考) 在 $ \triangle ABC $ 中, $ AB = BC = 20 $, $ \angle A = 15^{\circ} $, 则 $ \triangle ABC $ 的面积为______100.

答案： 100

9. (2024·盐城月考) 如图, 过等边 $ \triangle ABC $ 的顶点 $ A, B, C $ 依次作 $ AB, BC, AC $ 的垂线 $ MG, MN $, $ NG $, 三条垂线围成 $ \triangle MNG $. 若 $ AM = 2 $, 则 $ \triangle MNG $ 的周长为18.

答案： 18

10. 如图, 在 $ \triangle ABC $ 中, $ BD, CE $ 分别是 $ AC, AB $ 边上的高, $ F $ 是 $ BC $ 的中点, 连接 $ DE, DF $, $ EF, MN $.
(1) 求证: $ \triangle DEF $ 是等腰三角形;
(2) 若 $ \angle A = 60^{\circ} $, $ DE = 2 $, 求 $ BC $ 的长.

答案：
(1)证明:
∵BD,CE分别是AC,AB边上的高,
∴∠BDC=∠CEB=90°,
∴△BCD,△BCE为直角三角形.
∵F是BC的中点,
∴EF=DF=BF=CF=$\frac{1}{2}$BC,
∴△DEF是等腰三角形.
(2)解:
∵EF=DF=BF=CF=$\frac{1}{2}$BC,
∴∠BEF=∠ABC,∠CDF=∠ACB.
∵∠A=60°,
∴∠ABC+∠ACB=120°,
∴∠BFE+∠CFD=360°-2(∠ABC+∠ACB)=120°,
∴∠EFD=60°,
∴△DEF是等边三角形,
∴DE=EF,
∴BC=2DE=4.

11. 如图①, 在 $ \triangle ABC $ 中, $ CD, BE $ 分别是 $ AB, AC $ 边上的高, $ M, N $ 分别是线段 $ BC, DE $ 的中点, 连接 $ DM, ME, MN $.
(1) 求证: $ MN \perp DE $;
(2) 求证: $ \angle DME = 180^{\circ} - 2 \angle A $;
(3) 若将锐角 $ \triangle ABC $ 变为钝角 $ \triangle ABC $, 如图②, 上述 (1)(2) 中的结论是否都成立? 请说明理由.

答案：
(1)证明:
∵CD,BE分别是AB,AC边上的高,
∴∠BDC=∠BEC=90°.又
∵M是BC的中点,
∴DM=$\frac{1}{2}$BC,ME=$\frac{1}{2}$BC,
∴DM=ME.又
∵N为DE的中点,
∴MN⊥DE.
(2)证明:
∵DM=ME=BM=MC,
∴∠BDM=∠ABC,∠MEC=∠ACB,
∴∠BMD+∠CME=(180°-2∠ABC)+(180°-2∠ACB)=360°-2(∠ABC+∠ACB)=360°-2(180°-∠A)=2∠A,
∴∠DME=180°-2∠A.
(3)解:
(1)中的结论成立,
(2)中的结论不成立.理由:在△ABC中,CD,BE分别是AB,AC边上的高,
∴∠BDC=∠BEC=90°.又
∵M为BC的中点,
∴EM=DM=$\frac{1}{2}$BC=BM=CM.
∵N为DE的中点,
∴MN⊥DE.
∵DM=ME=BM=MC,
∴∠MEC=∠ACB,∠MDB=∠ABC,
∴∠BME + ∠CMD = 2∠ACB + 2∠ABC =2(180°-∠A)=360°-2∠A,
∴∠DME=180°-(360°-2∠A)=2∠A-180°.