《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版盐城专版》

8. 如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE,AD与BE相交于点O,AD与BC相交于点P,BE与CD相交于点Q,连接PQ. 有下列四个结论：①AD= BE；②AP= BQ；③DE= DP；④∠AOB= 60°. 其中恒成立的有①②④.(填序号)

答案： ①②④

9.(20分)如图,点C,F,E,B在同一条直线上,∠CFD= ∠BEA,CE= BF,DF= AE,写出CD与AB之间的关系,并证明你的结论.

答案： CD=AB,CD//AB.
证明:
∵CE=BF,
∴CE - EF=BF - EF,
∴CF=BE.
在△CFD和△BEA中,{CF=BE,∠CFD=∠BEA,DF=AE}
∴△CFD≌△BEA(SAS),
∴CD=AB,∠C=∠B,
∴CD//AB.

10.(20分)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,CD⊥AD于点D. 求证：∠ACD= ∠B+∠DCB.

答案：
证明:如答图，延长CD交AB于点E.

∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2.
∵CD⊥AD,
∴∠ADE=∠ADC=90°.
在△ADE和△ADC中,{∠1=∠2,AD=AD,∠ADE=∠ADC}
∴△ADE≌△ADC(ASA),
∴∠AED=∠ACD.
∵∠AED=∠B+∠DCB,
∴∠ACD=∠B+∠DCB.

11.(20分)在△ABC和△EDC中,D为△ABC的边AC上一点,CA平分∠BCE,BC= CD,AC= CE.
(1)如图①,求证：△ABC≌△EDC.
(2)如图②,若∠ACB= 60°,连接BE交AC于点F,G为边CE上一点,满足CG= CF,连接DG交BE于点H.
①求∠DHF的度数；
②若EB平分∠DEC,求证：BE平分∠ABC.

答案：

(1)证明:
∵CA平分∠BCE,
∴∠ACB=∠ECD.
在△ABC和△EDC中,{CB=CD,∠ACB=∠ECD,AC=EC}
∴△ABC≌△EDC(SAS).
(2)①解:在△BCF和△DCG中,{CB=CD,∠FCB=∠GCD,CF=CG}
∴△BCF≌△DCG(SAS),
∴∠CBF=∠CDG.
∵∠BFC=∠DFH,
∴∠DHF=∠ACB=60°.
②证明:如答图.

由
(1)得△ABC≌△EDC,
∴∠DEC=∠A.
∵∠ACB=∠ECD=60°,
∴∠ECM=60°.
∵EB平分∠DEC,
∴∠DEC=2∠1.
∵∠ECM=∠2+∠1=60°,∠DCM=∠A+∠ABC=120°,
∴∠A+∠ABC=2(∠2+∠1)=2∠2+2∠1=2∠2+∠A,
∴∠ABC=2∠2,
∴BE平分∠ABC.