《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版盐城专版》

4. 如图,在$\triangle ABC$中,$BD = CD$,$\angle 1= \angle 2$。求证：$AB = AC$。

答案：
证明:如答图,延长AD至点E,使ED=AD,连接BE.
在△ADC和△EDB中,$\left\{\begin{array}{l} AD=ED,\\ ∠ADC=∠EDB,\\ DC=DB,\end{array}\right. $
∴△ADC≌△EDB(SAS),
∴AC=EB,∠2=∠E.
∵∠1=∠2,
∴∠E=∠1,
∴AB=EB,
∴AB=AC.

5. 如图,在$\triangle ABC$中,$D为BC$的中点,$E是AD$上的一点,且$BE = AC$,延长$BE交AC于点F$。求证：$2AF = BF - CF$。

答案：
证明:如答图,延长AD到点G,使DG=AD,连接BG.

∵D是BC的中点,
∴BD=DC.
在△ACD和△GBD中,$\left\{\begin{array}{l} CD=BD,\\ ∠ADC=∠GDB,\\ AD=GD,\end{array}\right. $
∴△ACD≌△GBD(SAS),
∴∠CAD=∠G,AC=BG.
∵BE=AC,
∴BE=BG,
∴∠G=∠BEG.
∵∠BEG=∠AEF,
∴∠AEF=∠EAF,
∴EF=AF.
由BE=AC,得BF - EF=AF+CF,即2AF=BF - CF.

6. (1)如图①,在$\triangle ABC$中,若$AB = 8$,$AC = 6$,则$BC边上的中线AD$的取值范围是______；
(2)如图②,在四边形$ABCD$中,$AB// CD$,$E是BC$的中点,若$AE是\angle BAD$的平分线,试猜想线段$AB$,$AD$,$DC$之间的数量关系,并证明你的猜想；
(3)如图③,已知$AB// CF$,$E是BC$的中点,点$D在线段AE$上,$\angle EDF= \angle BAE$,若$AB = 5$,$CF = 2$,求线段$DF$的长。

答案：

(1)1＜AD＜7
(2)解:AD=AB+DC.
证明:如答图①,延长AE,DC交于点F.
∵E是BC的中点,
∴BE=CE.
∵AB//CD,
∴∠BAF=∠F.
在△ABE和△FCE中,$\left\{\begin{array}{l} ∠AEB=∠FEC,\\ ∠BAE=∠F,\\ BE=CE,\end{array}\right. $
∴△ABE≌△FCE(AAS),
∴CF=AB.
∵AE是∠BAD的平分线,
∴∠BAF=∠FAD,
∴∠FAD=∠F,
∴AD=DF.
∵DC+CF=DF,
∴DC+AB=AD.

(3)解:如答图②,延长AE交CF的延长线于点G.
∵E是BC的中点,
∴CE=BE.
∵AB//CF,
∴∠BAE=∠G.
在△AEB和△GEC中,$\left\{\begin{array}{l} ∠BAE=∠G,\\ ∠AEB=∠GEC,\\ BE=CE,\end{array}\right. $
∴△AEB≌△GEC(AAS),
∴AB=GC.
∵∠EDF=∠BAE,
∴∠FDG=∠G,
∴FD=FG,
∴AB=GC=DF+CF.
∵AB=5,CF=2,
∴DF=AB - CF=3.