《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版盐城专版》

2.【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠,充满着魅力.如图①是著名的赵爽弦图,由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成,用它可以证明勾股定理,思路是大正方形的面积有两种求法,一种是等于$c^{2}$,另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和,即$\frac {1}{2}ab×4+(b-a)^{2}$,从而得到等式$c^{2}=\frac {1}{2}ab×4+(b-a)^{2}$,化简便得结论$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法,我们称之为“双求法”.

【方法运用】向常春在 2010 年构造发现了一个新的证法:把两个全等的$Rt△ABC$和$Rt△DEA$如图②放置,其三边长分别为 a,b,c,$∠BAC=∠DEA=90^{\circ }$,连接 DB,DC,显然$BC⊥AD.$
(1)请用 a,b,c 分别表示出四边形 ABDC,梯形 AEDC,$△EBD$的面积,再探究这三个图形面积之间的关系,证明:$a^{2}+b^{2}=c^{2}$;
(2)【方法迁移】请利用“双求法”解决问题:如图③,小正方形的边长均为 1,连接小正方形的三个顶点,可得$△ABC$,则 AB 边上的高为____;
(3)如图④,在$△ABC$中,AD 是 BC 边上的高,$AB=4,AC=5,BC=6$,设$BD=x$,求 x 的值.
(1)证明:∵S四边形ABDC=$\frac{1}{2}$c²,S梯形AEDC=$\frac{1}{2}$(b+a)b,S△BED=$\frac{1}{2}$(a−b)a,S四边形ABDC=S梯形AEDC+S△BED,
　∴$\frac{1}{2}$c²=$\frac{1}{2}$(a+b)b+$\frac{1}{2}$(a−b)a,
　∴$\frac{1}{2}$c²=$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$a²−$\frac{1}{2}$ab,∴a²+b²=c².
(2)2
(3)解:在Rt△ABD中,由勾股定理,得AD²=AB²−BD²=4²−x²=16−x².
　∵BD+CD=BC=6,∴CD=BC−BD=6−x,
　在Rt△ACD中,由勾股定理,得AD²=AC²−CD²=5²−(6−x)²=−11+12x−x²,
　∴16−x²=−11+12x−x²,解得x=$\frac{9}{4}$.

答案：
(1)证明:
∵S四边形ABDC=$\frac{1}{2}$c²,S梯形AEDC=$\frac{1}{2}$(b+a)b,S△BED=$\frac{1}{2}$(a−b)a,S四边形ABDC=S梯形AEDC+S△BED,
∴$\frac{1}{2}$c²=$\frac{1}{2}$(a+b)b+$\frac{1}{2}$(a−b)a,
∴$\frac{1}{2}$c²=$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$a²−$\frac{1}{2}$ab,
∴a²+b²=c².
(2)2
(3)解:在Rt△ABD中,由勾股定理,得AD²=AB²−BD²=4²−x²=16−x².
∵BD+CD=BC=6,
∴CD=BC−BD=6−x,
　在Rt△ACD中,由勾股定理,得AD²=AC²−CD²=5²−(6−x)²=−11+12x−x²,
∴16−x²=−11+12x−x²,解得x=$\frac{9}{4}$.