《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版盐城专版》

6. 如图，点 $ A(4,3) $，若点 $ P $ 在 $ x $ 轴上且 $ \triangle POA $ 为等腰三角形，求点 $ P $ 的坐标。

答案：
解:如答图,过点A作AE⊥x轴于点E,则OE=4,AE=3,由勾股定理，得OA=$\sqrt{3^2+4^2}=5$.
当O为顶角顶点时，以点O为圆心，OA的长为半径作弧交x轴于点P₁,P₂,则OP₁=OP₂=OA=5,
∴P₁(-5,0),P₂(5,0).
当A为顶角顶点时，以点A为圆心，AO的长为半径作弧交x轴于点P₃,则AP₃=AO,
∴P₃E=OE=4,
∴OP₃=8,
∴P₃(8,0).
当P为顶角顶点时，作OA的垂直平分线，交x轴于点P₄,设AP₄=OP₄=x,则P₄E=4-x.在Rt△AP₄E中,由勾股定理,得$(4-x)^2+3^2=x^2$,解得$x=\frac{25}{8}$,
∴OP₄=$\frac{25}{8}$,
∴P₄($\frac{25}{8}$,0).
综上所述，点P的坐标为(-5,0)或($\frac{25}{8}$,0)或(5,0)或(8,0).

7. 如图，在等腰直角 $ \triangle ABC $ 中，$ BC = AC $，$ \angle ACB = 90^{\circ} $，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点 $ B $ 的坐标为 $ (0,3) $，点 $ C $ 的坐标为 $ (9,0) $。过点 $ A $ 作 $ AD \perp x $ 轴，垂足为 $ D $。
(1) 求 $ OD $ 的长及点 $ A $ 的坐标。
(2) 取 $ AB $ 的中点 $ E $，连接 $ OE $，$ DE $，请你判定 $ OE $ 与 $ DE $ 的关系，并证明你的结论。
(3) 连接 $ OA $，试探究在 $ x $ 轴上是否存在点 $ Q $，使 $ \triangle OAQ $ 是以 $ OA $ 为腰的等腰三角形？若存在，请求出点 $ Q $ 的坐标；若不存在，请说明理由。

答案：

(1)求OD的长及点A的坐标。解:
∵点B的坐标为(0,3),点C的坐标为(9,0),
∴OB=3,OC=9.
∵∠ACB=90°,
∴∠BCO+∠ACD=90°.
又
∵∠BCO+∠CBO=90°,
∴∠ACD=∠CBO,又AC=CB,∠BOC=∠CDA=90°,
∴△BOC≌△CDA(AAS),
∴CD=OB=3,
∴OD=OC+CD=12,AD=OC=9,
∴点A的坐标为(12,9).
(2)取AB的中点E，连接OE，DE，请你判定OE与DE的关系，并证明你的结论。解:OE=DE且OE⊥DE.
证明:如答图①,过点E作EF⊥y轴于点F,交AD于点G,

则FG=OD=12且FG⊥AD.
∵B(0,3),A(12,9),E为AB的中点,
∴E(6,6),
∴EF=EG=6,OF=DG=6.
又
∵∠EFO=∠EGD=90°,
∴△EFO≌△EGD,且△EFO和△EGD都为等腰直角三角形,
∴OE=DE,∠FEO=∠GED=45°,
∴∠OED=180°-∠FEO-∠GED=90°,
∴OE⊥DE.
(3)连接OA，试探究在x轴上是否存在点Q，使△OAQ是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。解:存在.由
(1)知点A的坐标为(12,9),则OA=15.如答图②.
①当A为顶角顶点，且OA是腰时，
∵AD⊥x轴,
∴点Q₁,O关于直线AD对称，即Q₁(24,0);
②当A为底角顶点，且OA是腰时,OQ₂=OQ₃=OA=15,
∴Q₂(15,0),Q₃(-15,0).
综上所述，点Q的坐标为(24,0)或(15,0)或(-15,0).