《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版盐城专版》

8. (2024·响水县月考)如图, $ D 是等边三角形 A B C 的边 B C $延长线上的一点, $ \angle E B C= \angle D A C, C E // A B $. 求证:$ \triangle C D E $是等边三角形.

答案： 证明:
∵△ABC是等边三角形,
∴AC=BC,∠ABC=∠ACB=60°,
∴∠ABE+∠CBE=60°,∠CAD+∠ADC=60°.
∵∠EBC=∠DAC,
∴∠ABE=∠ADC;
∵CE//AB,
∴∠BEC=∠ABE,
∴∠BEC=∠ADC;在△BCE和△ACD中,$\left\{\begin{array}{l} ∠BEC=∠ADC,\\ ∠EBC=∠DAC,\\ BC=AC,\end{array}\right. $
∴△BCE≌△ACD(AAS),
∴CE=CD,∠BCE=∠ACD,
∴∠ECD=∠ACB=60°,
∴△CDE是等边三角形.

9. 如图, $ P 为等边 \triangle A B C $内一点, 连接$ B P, P C $, 延长$ P C 到点 D $, 使$ C D= P C $. 延长$ B C 到点 E $, 使$ C E= B C $, 连接$ A E, D E $.
(1) 求证:$ B P // D E $;
(2) 若$ B P \perp A C $, 求$ \angle A E D $的度数.

答案：
(1)证明:在△DEC和△PBC中,$\left\{\begin{array}{l} CD=CP,\\ ∠DCE=∠PCB,\\ CE=CB,\end{array}\right. $
∴△DEC≌△PBC(SAS),
∴∠DEC=∠PBC,
∴BP//DE;
(2)解:如答图,延长AC交ED的延长线于点F.
∵△ABC为等边三角形，
∴BC=AC,∠ACB=60°.
∵CE=BC,
∴AC=CE,
∴∠CAE=∠CEA.
∵∠CAE+∠CEA=∠ACB=60°,
∴∠CAE=∠CEA=30°.
∵BP//DE,BP⊥AC,
∴DE⊥AC,
∴∠F=90°.
∵∠ECF=∠ACB=60°,
∴∠CED=90°−∠ECF=30°,
∴∠AED=∠CEA+∠CED=30°+30°=60°.

10. 如图, 在等边$ \triangle A B C $中, $ D 是 A B $的中点, $ E 是线段 B C $上一点, 连接$ D E, \angle D E B= \alpha\left(30^{\circ} \leqslant \alpha＜60^{\circ}\right) $, 将射线$ D A 绕点 D 顺时针旋转 \alpha $, 得到射线$ D Q, F 是射线 D Q $上一点, 且$ D F= D E $, 连接$ F E, F C $.
(1) 补全图形;
(2) 求$ \angle E D F $的度数;
(3) 用等式表示线段$ F E, F C $的数量关系, 并证明.

答案： 解:
(1)如答图①.
(2)
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=60°.
∵射线DA绕点D顺时针旋转α,得到射线DQ,
∴∠ADF=α,
∴∠BDF=180°−α.
∵∠DEB=α,
∴∠BDE=180°−∠B−∠DEB=180°−60°−α=120°−α,
∴∠EDF=∠BDF−∠BDE=180°−α−(120°−α)=60°.
(3)FE=FC;
证明:如答图②,在CA上截取CG=CE,连接EG,DG;
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°,AC=BC,
∴△EGC是等边三角形,
∴∠GEC=60°,GE=EC.
∵∠EDF=60°,DE=DF,
∴△DEF是等边三角形,
∴∠DEF=60°,DE=EF,
∴∠DEF+∠FEG=∠GEC+∠FEG,即∠DEG=∠FEC,
∴△DEG≌△FEC(SAS),
∴DG=FC;
∵AC−GC=BC−EC,
∴AG=BE.
∵D是AB的中点,
∴AD=DB.
∵∠A=∠B,
∴△BDE≌△ADG(SAS),
∴DE=DG,
∴FE=FC;