《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版盐城专版》

7. 如图,在四边形ABCD中,点E在AD上,$∠BCE= ∠ACD= 90^{\circ },∠BAC= ∠D,BC= CE.$
求证:$AC= CD.$

答案： 证明:
∵∠BCE=∠ACD=90°,
∴∠BCA=∠ECD.
在△BCA和△ECD中,∠BCA=∠ECD,∠BAC=∠D,BC=EC,
∴△BCA≌△ECD(AAS),
∴AC=CD.

8. 如图,AC平分$∠BAD,CB⊥AB,CD⊥AD$,垂足分别为B,D.
(1)求证:$△ABC\cong △ADC;$
(2)若$AB= 4,CD= 3$,求四边形ABCD的面积.

答案：
(1)证明:
∵AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠DAC.
∵CB⊥AB,CD⊥AD,
∴∠B=∠D=90°.
在△ABC和△ADC中,∠B=∠D,∠BAC=∠DAC,AC=AC,
∴△ABC≌△ADC(AAS).
(2)解:由
(1)知△ABC≌△ADC,
∴BC=CD=3,S△ABC=S△ADC,
∴S△ABC=1/2AB·BC=1/2×4×3=6,
∴S△ADC=6,
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=12.
即四边形ABCD的面积是12.

9. 如图,在$△ABC$中,$∠ABC= ∠ACB$.D,E,F分别是AB,BC,AC边上的点,$BE= CF.$
(1)若$∠DEF= ∠ABC$,求证:$DE= EF;$
(2)若$∠A+2∠DEF= 180^{\circ },BC= 9,EC= 2BE$,求BD的长.

答案：
(1)证明:
∵∠DEF=∠ABC,∠DEC=∠ABC+∠BDE=∠DEF+∠CEF,
∴∠BDE=∠CEF.
在△BDE和△CEF中,∠DBE=∠ECF,∠BDE=∠CEF,BE=CF,
∴△BDE≌△CEF(AAS),
∴DE=EF.
(2)解:
∵BC=9,EC=2BE,
∴BE=3,EC=6.
∵∠A+2∠DEF=180°,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠ABC=∠ACB,
∴∠DEF=∠ABC=∠ACB.
由
(1)知△BDE≌△CEF,
∴BD=CE=6.