《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版盐城专版》

(1)小组讨论:仔细回顾证明 $ \sqrt{2} $ 是无理数的过程,总结反证法的证明步骤;
(2)实践操作:你能仿照证明 $ \sqrt{2} $ 是无理数的方法,用反证法证明 $ \sqrt{2}-1 $ 也是无理数吗? 请写出详细的证明过程;
(3)拓展思考:除了 $ \sqrt{2} $ 和 $ \sqrt{2}-1 $,你还能想到哪些数可以尝试用反证法来探究其是有理数还是无理数呢? 选择一个数,和小组同学一起讨论并尝试证明.

答案：
(1)反证法的证明步骤:
第一步:提出反设,即假设要证明的结论不成立,也就是假设原命题的反面成立;
第二步:进行推理,根据假设以及已知条件进行一系列的逻辑推理;
第三步:推出矛盾,在推理过程中得出与已知条件、定理、公理或其他显然成立的事实相矛盾的结果;
第四步:得出结论,由于出现矛盾,说明假设不成立,从而证明原命题成立.
(2)证明:假设$\sqrt{2}-1$不是无理数,那么$\sqrt{2}-1$是有理数,所以$\sqrt{2}-1$可以写成$\frac{p}{q}$(p,q是正整数,且没有大于1的公约数),即$\sqrt{2}=\frac{p}{q}+1=\frac{p+q}{q}$.因为p,q是正整数,所以$\frac{p+q}{q}$是有理数,这与已知$\sqrt{2}$是无理数相矛盾,所以$\sqrt{2}-1$不是有理数,它是无理数.
(3)答案不唯一.
探究$\sqrt{3}$是无理数.
证明:假设$\sqrt{3}$不是无理数,那么$\sqrt{3}$是有理数,所以$\sqrt{3}$可以写成$\frac{a}{b}$(a,b是正整数,且没有大于1的公约数).根据平方根的意义,$(\frac{a}{b})^{2}=3$,即$\frac{a^{2}}{b^{2}}=3$,3$b^{2}$=$a^{2}$.由于3$b^{2}$是3的倍数,所以$a^{2}$是3的倍数,从而可知a也是3的倍数,设a=3c(c是正整数).把a=3c代入3$b^{2}$=$a^{2}$,得3$b^{2}$=9$c^{2}$,即$b^{2}$=3$c^{2}$,因此b也是3的倍数,于是,a,b都是3的倍数,这与a,b没有大于1的公约数相矛盾,所以$\sqrt{3}$不是有理数,它是无理数.