《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版盐城专版》

1. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$\angle B= \angle C = 90^{\circ}$,$E$ 为 $BC$ 的中点,且 $AE$ 平分 $\angle BAD$。求证：$DE$ 是 $\angle ADC$ 的平分线。

答案：
证明:如答图,过点E作EF⊥AD于点F.
∵∠B=90°,AE平分∠BAD,
∴BE=EF;
∵E是BC的中点,
∴BE=CE,
∴CE=EF.
　又
∵∠C=90°,EF⊥AD,
∴DE是∠ADC的平分线.
　　　　　　　　

2. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$\angle ABC+\angle ADC = 180^{\circ}$,$CH$ 垂直平分 $BD$。求证：$AC$ 平分 $\angle BAD$。

答案：
证明:如答图，过点C作CM⊥AB于点M,CN⊥AD交AD的延长线于点N,
　　　　　　　
∴∠BMC=∠CND=90°.
∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ADC+∠CDN=180°,
∴∠ABC=∠CDN;
∵CH垂直平分BD,
∴CB=CD.
在△CBM和△CDN中,∠MBC=∠NDC,∠BMC=∠DNC,CB=CD,
∴△CBM≌△CDN(AAS),
∴CM=CN,
∴AC平分∠BAD

3. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AC = 6\mathrm{cm}$,$AB = 9\mathrm{cm}$,$D$ 是边 $BC$ 上一点,$AD$ 平分 $\angle BAC$,在 $AB$ 上截取 $AE = AC$,连接 $DE$,已知 $DE = 2\mathrm{cm}$,$BD = 3\mathrm{cm}$。
(1) 求线段 $BC$ 的长；
(2) 若 $\angle ACB$ 的平分线 $CF$ 交 $AD$ 于点 $O$,且点 $O$ 到 $AC$ 的距离是 $a\mathrm{cm}$,请用含 $a$ 的代数式表示 $\triangle ABC$ 的面积。

答案：
解:
(1)
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
在△ADE和△ADC中,AE=AC,∠EAD=∠CAD,AD=AD,
∴△ADE≌△ADC(SAS),
∴DE=DC,
∴BC=BD+DC=BD+DE=3+2=5(cm).
(2)如答图，连接OB.
∵∠ACB的平分线CF交AD于点O,且点O到AC的距离是acm,
∴S△ABC=S△AOC+S△AOB+S△BOC=1/2×6a+1/2×9a+1/2×5a=10a(cm²).