《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版盐城专版》

6. (2024·东台月考)如图, 有 $ A $, $ B $, $ C $ 三个居民小区的位置成三角形, 现决定在三个小区之间修建一个购物超市, 使超市到三个小区的距离相等, 则超市应建在 (D)

A.$ \triangle ABC $ 三条中线的交点处
B.$ \triangle ABC $ 三条角平分线的交点处
C.$ \triangle ABC $ 三条高线的交点处
D.$ \triangle ABC $ 三条边的垂直平分线的交点处

答案： D

7. 如图, $ D $, $ E $ 是 $ \triangle ABC $ 的 $ BC $ 边上的两点, $ DM $, $ EN $ 分别垂直平分 $ AB $, $ AC $, 垂足分别为 $ M $, $ N $. 若 $ \angle DAE = 60^{\circ} $, 则 $ \angle BAC $ 的度数为120°.

答案： 120°

8. 如图, 在 $ \triangle ABC $ 中, $ BC $ 边上的垂直平分线 $ DE $ 交边 $ BC $ 于点 $ D $, 交边 $ AB $ 于点 $ E $. 若 $ \triangle EDC $ 的周长为 24, $ \triangle ABC $ 与四边形 $ AEDC $ 的周长之差为 12, 则线段 $ DE $ 的长为6.

答案： 6

9. 如图, $ AD $ 是 $ \triangle ABC $ 的角平分线, $ DE $, $ DF $ 分别是 $ \triangle ABD $ 和 $ \triangle ACD $ 的高. 求证: $ AD $ 垂直平分 $ EF $.

答案： 证明:
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠EAD=∠FAD,∠AED=∠AFD=90°.
又
∵AD=AD,
∴△AED≌△AFD(AAS),
∴AE=AF,DE=DF,
∴AD垂直平分EF.

10. 如图, $ AB = CD $, 线段 $ AC $ 的垂直平分线与线段 $ BD $ 的垂直平分线相交于点 $ E $. 求证: $ \angle ABE = \angle CDE $.

答案：
证明:如答图，连接AE,CE.
∵AC,BD的垂直平分线相交于点E,
∴AE=CE,BE=DE.
在△ABE和△CDE中,{AB=CD,
AE=CE,
BE=DE,
∴△ABE≌△CDE(SSS),
∴∠ABE=∠CDE.

11. 如图, 在 $ \triangle ABC $ 中, $ AB ＞ AC $, $ BC $ 的垂直平分线 $ DF $ 交 $ \triangle ABC $ 的外角平分线 $ AD $ 于点 $ D $, $ DE \perp AB $ 于点 $ E $. 求证: $ BE - AC = AE $.

答案：
证明:如答图，过点D作DG⊥CA于点G,连接DC,DB.

∵AD是△ABC的外角平分线,DE⊥AB,DG⊥CA,
∴∠DAE=∠DAG,∠AED=∠AGD,又AD=AD,
∴△ADE≌△ADG(AAS),
∴DE=DG,AE=AG.
∵DF垂直平分BC,
∴DC=DB,
∴Rt△CDG≌Rt△BDE(HL),
∴BE=CG,
∴BE - AC=CG - AC=AG=AE.