《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版盐城专版》

9. 如图,$AD$,$AE分别是\triangle ABC$的高和中线,$AB = 6cm$,$AC = 8cm$,$BC = 10cm$,$∠CAB = 90^{\circ}$.求:(1)$AD$的长;
(2)$\triangle ABE$的面积;
(3)$\triangle ACE和\triangle ABE$的周长的差.

答案： 解:
(1)$\because\angle BAC=90^{\circ}$,AD 是边 BC 上的高,
$\therefore\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}BC\cdot AD$,
$\therefore AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{6×8}{10}=4.8(\text{cm})$,
即 AD 的长为 4.8 cm.
(2)$\because\triangle ABC$是直角三角形,$\angle BAC=90^{\circ}$,
$AB=6\ \text{cm},AC=8\ \text{cm}$,
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}×6×8=24(\text{cm}^2)$.
又$\because AE$是边 BC 上的中线,$\therefore BE=EC$,
$\therefore\frac{1}{2}BE\cdot AD=\frac{1}{2}EC\cdot AD$,即$S_{\triangle ABE}=S_{\triangle AEC}$,
$\therefore S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=12\text{cm}^2$,
$\therefore\triangle ABE$的面积是$12\ \text{cm}^2$.
(3)$\because AE$为 BC 边上的中线,$\therefore BE=CE$,
$\therefore\triangle ACE$的周长$-\triangle ABE$的周长$=AC+AE+CE-$
(AB+BE+AE)$=AC-AB=8-6=2(\text{cm})$,
即$\triangle ACE$和$\triangle ABE$的周长的差是 2 cm.

10. (2024·盐都区月考)如图,在$\triangle ABC$中,$AB = 6cm$,$BC = 10cm$,$CE⊥AB$,$AD⊥BC$,$AD和CE交于点F$,$∠B = 67^{\circ}$.
(1)求$∠AFC$的度数;
(2)若$AD = 4cm$,求$CE$的长.

答案： 解:
(1)$\because CE\perp AB$,$\therefore\angle CEB=90^{\circ}$.
$\because\angle B=67^{\circ}$,$\therefore\angle BCE=23^{\circ}$.
$\because AD\perp BC$,$\therefore\angle FDC=90^{\circ}$,
$\therefore\angle AFC=\angle FDC+\angle FCD=90^{\circ}+23^{\circ}=113^{\circ}$.
(2)$\because CE\perp AB$,$AD\perp BC$,
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}AB\cdot CE$.
$\because AB=6\ \text{cm},BC=10\ \text{cm},AD=4\ \text{cm}$,
$\therefore CE=\frac{AD\cdot BC}{AB}=\frac{4×10}{6}=\frac{20}{3}(\text{cm})$.

11. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠ACB = 90^{\circ}$,$BC = 6cm$,$AC = 8cm$,$AB = 10cm$,$CD⊥AB$,垂足为$D$.
(1)求$CD$的长;
(2)点$P从点A$出发,以$1cm/s的速度沿A→B→C$运动,当点$P运动到点C$时停止运动.当点$P$运动多少秒时,$\triangle PAC的面积为6cm^{2}$?

答案： 解:
(1)因为$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CD=\frac{1}{2}AC\cdot BC$,
所以$\frac{1}{2}×10× CD=\frac{1}{2}×8×6$,解得$CD=4.8$,
即 CD 的长为 4.8 cm.
(2)当点 P 在边 AB 上时,根据题意,得$\frac{1}{2}AP\cdot CD=6$,
所以$\frac{1}{2}AP×4.8=6$,解得$AP=2.5$,
即点 P 运动的路程为 2.5 cm.
因为点 P 运动的速度是 1 cm/s,
所以点 P 运动的时间为$2.5÷1=2.5(\text{s})$.
当点 P 在边 BC 上时,根据题意,得$\frac{1}{2}CP\cdot AC=6$,
所以$\frac{1}{2}× CP×8=6$,解得$CP=1.5$,所以点 P 运动的路程为$AB+BC-CP=10+6-1.5=14.5(\text{cm})$.
因为点 P 运动的速度是 1 cm/s,
所以点 P 运动的时间为$14.5÷1=14.5(\text{s})$.
综上可知,点 P 运动 2.5 s 或 14.5 s 时,$\triangle PAC$的面积为$6\ \text{cm}^2$.