《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版》

9. 若$(2x + 3y)(mx - ny)= 9y^{2}-4x^{2}$,则(B)
A.$m = 2$,$n = 3$
B.$m = -2$,$n = -3$
C.$m = 2$,$n = -3$
D.$m = -2$,$n = 3$

答案： B

10. 已知$(x + 3)(x - 3)= 3x + 1$,则$2x^{2}-6x + 2$的值为22.

答案： 22

11. 计算：
(1) $(x - 2)(x + 2)(x^{2}+4)$；
(2) $1.03×0.97$.

答案： （1）解：原式$=(x^{2}-4)(x^{2}+4)=x^{4}-16$.（2）解：原式$=(1+0.03)×(1-0.03)=1-0.03^{2}=1-0.0009=0.9991$.

12. 先化简,再求值：$x^{2}-(x - 2y)(x + 2y)+(x^{2}-y)(y + x^{2})$,其中$x = -1$,$y= \dfrac{1}{3}$.

答案： 解：原式$=x^{2}-x^{2}+4y^{2}+(x^{2}-y)(x^{2}+y)=4y^{2}+x^{4}-y^{2}=3y^{2}+x^{4}$，$\because x=-1$，$y=\dfrac{1}{3}$，$\therefore$原式$=3×\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}+(-1)^{4}=\dfrac{1}{3}+1=\dfrac{4}{3}$.

13. 某中学决定建一个长方体游泳池. 已知游泳池长为$(4a^{2}+9b^{2})$m,宽为$(2a + 3b)$m,深为$(2a - 3b)$m,请你计算一下这个游泳池的容积.

答案： 解：长方体的容积为$(4a^{2}+9b^{2})(2a+3b)\cdot(2a-3b)=(4a^{2}+9b^{2})[(2a)^{2}-(3b)^{2}]=(4a^{2}+9b^{2})(4a^{2}-9b^{2})=(16a^{4}-81b^{4})m^{3}$.则这个游泳池的容积是$(16a^{4}-81b^{4})m^{3}$.

14. (新考向·代数推理)观察下列等式：$4×1= 2^{2}-0^{2}$；$4×2= 3^{2}-1^{2}$；$4×3= 4^{2}-2^{2}$；……
(1) 请将$2024$写成两整数平方差的形式：$2024=$$507^{2}-505^{2}$；
(2) 用含有字母$n$($n是不小于1$的整数)的等式表示这一规律是$4n=(n+1)^{2}-(n-1)^{2}$,并用已学的知识验证这一规律；
(3) 相邻两整数的平方差是$4$的倍数吗？请说说你的理由.
（2）验证如下：右边$=(n+1)^{2}-(n-1)^{2}=(n+1+n-1)(n+1-n+1)=4n=$左边.
（3）不是.理由如下：设相邻的两个整数分别为$a$，$a+1$.根据题意可知，$(a+1)^{2}-a^{2}=2a+1$，化简结果为奇数，故不是4的倍数.

答案： （1）$507^{2}-505^{2}$（2）$4n=(n+1)^{2}-(n-1)^{2}$解：验证如下：右边$=(n+1)^{2}-(n-1)^{2}=(n+1+n-1)(n+1-n+1)=4n=$左边.（3）不是.理由如下：设相邻的两个整数分别为$a$，$a+1$.根据题意可知，$(a+1)^{2}-a^{2}=2a+1$，化简结果为奇数，故不是4的倍数.