《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版》

12. (教材第129页第2题变式)分解因式：
(1)$-\frac{49}{64}+\frac{1}{100}a^{2}b^{2}$；
(2)$16(x + y)^{2}-25(x - y)^{2}$.

答案：
(1)解:原式=$\left(\frac{1}{10}ab\right)^2-\left(\frac{7}{8}\right)^2=\left(\frac{1}{10}ab+\frac{7}{8}\right)\left(\frac{1}{10}ab-\frac{7}{8}\right)$.
(2)解:原式=$[4(x+y)]^2-[5(x-y)]^2=(4x+4y)^2-(5x-5y)^2=(4x+4y+5x-5y)(4x+4y-5x+5y)=(9x-y)(9y-x)$.

13. 如图,在一个边长为$a$的正方形木板上,锯掉边长为$b$的四个小正方形,当$a = 18dm$,$b = 6dm$时,求剩余部分的面积。

答案： 解:$a^2-4b^2=(a+2b)(a-2b)=(18+12)(18-12)=30×6=180$(dm²).

14. (代数推理)当$n$为正整数时,$(n + 1)^{2}-(n - 1)^{2}能被4$整除吗？请说明理由。

答案： 解:能.理由如下:$(n+1)^2-(n-1)^2=(n+1+n-1)(n+1-n+1)=4n$.
∵n为正整数,
∴4n为4的整数倍.
∴当n为正整数时,$(n+1)^2-(n-1)^2$能被4整除.

15. (新考法·综合与实践)从边长为$a的正方形中剪掉一个边长为b$的正方形(如图①),然后将剩余部分拼成一个长方形(如图②)。
(1)上述操作能验证的等式是_____；(请选择正确的一个)
A. $a^{2}-2ab + b^{2}= (a - b)^{2}$
B. $a^{2}-b^{2}= (a + b)(a - b)$
C. $a^{2}+ab = a(a + b)$
(2)应用你从(1)选出的等式,完成下列各题：
①已知$x^{2}-4y^{2}= 12$,$x + 2y = 4$,则$x - 2y= $_____；
②计算：$(1-\frac{1}{2^{2}})(1-\frac{1}{3^{2}})(1-\frac{1}{4^{2}})…(1-\frac{1}{49^{2}})(1-\frac{1}{50^{2}})$。
]


(1)(B)
(2)①3②解:原式=$\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{49}\right)\left(1+\frac{1}{49}\right)\left(1-\frac{1}{50}\right)\left(1+\frac{1}{50}\right)=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×\cdots×\frac{48}{49}×\frac{50}{49}×\frac{49}{50}×\frac{51}{50}=\frac{1}{2}×\frac{51}{50}=\frac{51}{100}$

答案：
(1)B
(2)①3 ②解:原式=$\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{49}\right)\left(1+\frac{1}{49}\right)\left(1-\frac{1}{50}\right)\left(1+\frac{1}{50}\right)=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×\cdots×\frac{48}{49}×\frac{50}{49}×\frac{49}{50}×\frac{51}{50}=\frac{1}{2}×\frac{51}{50}=\frac{51}{100}$.