《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版》

1. (一题多设问)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC,\angle ACB的平分线相交于点F$.
(1)若$\angle ABC = 40^{\circ},\angle ACB = 50^{\circ}$,求$\angle BFC$的度数;
(2)若$\angle A = 70^{\circ}$,则$\angle BFC$的度数为125°;
(3)若$\angle BFC = 120^{\circ}$,求$\angle A$的度数为60°.

答案： 1.
(1)解:
∵BD平分∠ABC,
∴∠FBC =$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×40°=20°.
∵CE平分∠ACB,
∴∠FCB=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×50°=25°.
∴∠BFC=180°−∠FBC−∠FCB=180°−20°−25°=135°.
(2)125°
(3)60°

2. (一题多设问)如图,在$\triangle ABC$中,$BE是\angle ABC$的平分线,$CE是外角\angle ACM$的平分线,$BE与CE相交于点E$.
(1)若$\angle ABC = 50^{\circ},\angle ACB = 60^{\circ}$,求$\angle E$的度数;
(2)若$\angle A = 60^{\circ}$,则$\angle E$的度数为30°;
(3)根据(1)(2)的结论,请直接写出$\angle E与\angle A$之间的数量关系.

答案： 2.
(1)解:
∵∠ACB=60°,
∴∠ACM = 180°−∠ACB=120°.
∵BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，
∴∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=25°,∠ECM=$\frac{1}{2}$∠ACM =60°.
∵∠ECM=∠EBC+∠E,
∴∠E=∠ECM−∠EBC=60°−25°=35°.
(2)30°
(3)∠E=$\frac{1}{2}$∠A.

3. (1)如图,$BO平分\triangle ABC的外角\angle DBC$,$CO平分\triangle ABC的外角\angle ECB$,则$\angle BOC与\angle A$的等量关系为______;
(2)请证明上述结论.

答案：
3.
(1)∠BOC=90°−$\frac{1}{2}$∠A
(2)证明:如图,
∵BO,CO分别是△ABC的外角∠DBC,∠ECB的平分线，
∴∠DBC=2∠1=∠ACB +∠A,∠ECB=2∠2=∠ABC+∠A.
∴2∠1+2∠2=∠A+∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°.
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$∠A+90°.又
∵∠1+∠2+∠BOC=180°.
∴∠BOC = 180°−(∠1+∠2)=180°−($\frac{1}{2}$∠A +90°)=90°−$\frac{1}{2}$∠A.