《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版》

8. (河北省中考)若 $a$,$b$ 是正整数,且满足 $ \underbrace{2^{a}+2^{a}+…+2^{a}}_{8个2^{a}相加}= \underbrace{2^{b}×2^{b}×…×2^{b}}_{8个2^{b}相乘}$,则 $a$ 与 $b$ 的关系正确的是(A)
A.$a + 3 = 8b$
B.$3a = 8b$
C.$a + 3 = b^{8}$
D.$3a = 8 + b$

答案： A

9. 《孙子算经》中记载：“凡大数之法,万万曰亿,万万亿曰兆.”译为“亿是一万个万,兆是一万万个亿”用数学式子表示为 1 亿 $=1$ 万 $×1$ 万,1 兆 $=1$ 万 $×1$ 万 $×1$ 亿,那么 3 兆 $=$$3×10^{16}$.(用科学记数法表示)

答案： $3×10^{16}$

10. 已知 $2x + y - 3 = 0$,则 $5^{2x} \cdot 5^{y}= $125。

答案： 125

11. 已知：$3^{a}= 9$,$3^{b}= 27$,则 $3^{a + b + 1}$ 的值为729。

答案： 729

12. (新考法·新定义)如果 $x^{n}= y$,那么我们规定 $(x,y]= n$。例如：因为 $3^{2}= 9$,所以 $(3,9]= 2$。已知 $(4,12]= a$,$(4,5]= b$,$(4,y]= c$,若 $a + b = c$,则 $y$ 的值为60。

答案： 60

13. 计算：
(1) $m \cdot m^{2} \cdot m^{4}+m^{2} \cdot m^{5}$；
(2) $(m - n) \cdot (n - m)^{3} \cdot (n - m)^{2}$。

答案： （1）解：原式$=m^{1+2+4}+m^{2+5}=m^{7}+m^{7}=2m^{7}$. （2）解：原式$=-(n-m)\cdot(n-m)^{3}\cdot(n-m)^{2}=-(n-m)^{1+3+2}=-(n-m)^{6}$.

14. 若 $m$,$n$ 为正整数 $(m ＜ n)$,且 $2^{m}×2^{n}×4 = 256$,求 $mn$ 的值。

答案： 解：$\because2^{m}×2^{n}×4=256$，$\therefore2^{m+n+2}=2^{8}$.$\therefore m+n=6$.$\because m\lt n$，且$m,n$为正整数，$\therefore$当$m=1$时，$n=5$，$mn=5$；当$m=2$时，$n=4$，$mn=8$.$\therefore mn$的值为5或8.

15. (新考法·新定义)规定 $m \otimes n = 2^{m}×2^{n}$,例如 $2 \otimes 3 = 2^{2}×2^{3}= 2^{5}$。若 $(2 + x) \otimes y = 32$,$(2x + y) \otimes 1 = 64$,求 $x$,$y$ 的值。

答案： 解：$\because m\otimes n=2^{m}×2^{n}$，$\therefore$由$(2+x)\otimes y=32$，得$2^{2+x}×2^{y}=2^{2+x+y}=32=2^{5}$，由$(2x+y)\otimes1=64$，得$2^{2x+y}×2=2^{2x+y+1}=64=2^{6}$，$\therefore\begin{cases}2+x+y=5,\\2x+y+1=6\end{cases}$解得$\begin{cases}x=2,\\y=1.\end{cases}$