《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版》

9. 计算：
(1)$(-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}xy+\frac{1}{4}y^{2})\cdot(-2xy^{2})^{2}$； (2)$3xy[6xy - 2(xy+\frac{1}{2}x^{2}y)]$.

答案：
(1)解:原式$=(-\frac {1}{2}x^{2}-\frac {3}{2}xy+\frac {1}{4}y^{2})\cdot 4x^{2}y^{4}=-2x^{4}y^{4}-6x^{3}y^{5}+x^{2}y^{6}$.
(2)解:原式$=3xy\cdot (6xy-2xy-x^{2}y)=3xy\cdot (4xy-x^{2}y)=12x^{2}y^{2}-3x^{3}y^{2}.$

10. (教材第106页第4题变式)先化简,再求值：$3a(a^{2}-2a + 1)-2a^{2}(a - 3)$,其中$a = 2$.

答案： 解:原式$=3a^{3}-6a^{2}+3a-2a^{3}+6a^{2}=a^{3}+3a$.当$a=2$时,原式$=2^{3}+3×2=14.$

11. 两个完全相同的长方形如图放置,每个长方形的面积均为$28$,图中阴影部分的面积为$20$,求其中一个长方形的周长.(提示：设长方形的长为$a$,宽为$b$,则$ab = 28$)
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答案： 解:设长方形的长为 a,宽为 b,则$ab=28,\therefore 56-\frac {1}{2}(a+b)b-\frac {1}{2}ab=20$,可求$b=4,\therefore a=28÷4=7,$则长方形的周长是$2×(4+7)=22.$

12. (新考法·阅读理解)已知$kx + 2y - 3x + 6的值与x$的取值无关,求$k$的值.
解决这类题目时,我们通常将代数式合并同类项,得到$(k - 3)x + 2y + 6$,$\because代数式的值与x$的取值无关,$\therefore k - 3 = 0$,得到$k = 3$.
【理解应用】
根据上述方法,求解：
(1)若代数式$m(2x + 1)-2\cdot3x的值与x$的取值无关,则$m$的值为3；
(2)已知$A = 2x^{2}-(1 - 3n)x,B = 2m(x^{2}-x + 1)$,且$A - B的值与x$无关,则$m= $1,$n= $$-\frac{1}{3}$；
【拓展延伸】
(3)现有$7$张如图①所示的长为$a$,宽为$b$的小长方形纸片,将这$7$张长方形纸片按图②所示放置在大长方形$ABCD$中(纸片间无重叠,无间隙),大长方形中未被纸片覆盖的区域设为$S_{1},S_{2}$,若当$AD$的长度变化时,$S_{1}与S_{2}$的差始终为定值,求$a与b$的数量关系.
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解:设 AD 的长为 x,则$S_{1}=(x-a)\cdot 3b,S_{2}=(x-4b)\cdot a,S_{1}-S_{2}=(x-a)\cdot 3b-(x-4b)\cdot a=3bx-3ab-ax+4ab=(3b-a)x+ab$,
∵当 AD 的长度变化时,$S_{1}$与$S_{2}$的差始终为定值,即$S_{1}-S_{2}$的值与x无关,$\therefore 3b-a=0,\therefore a=3b.$

答案：
(1)3
(2)1 $-\frac {1}{3}$
(3)解:设 AD 的长为 x,则$S_{1}=(x-a)\cdot 3b,S_{2}=(x-4b)\cdot a,S_{1}-S_{2}=(x-a)\cdot 3b-(x-4b)\cdot a=3bx-3ab-ax+4ab=(3b-a)x+ab$,
∵当 AD 的长度变化时,$S_{1}$与$S_{2}$的差始终为定值,即$S_{1}-S_{2}$的值与x无关,$\therefore 3b-a=0,\therefore a=3b.$