《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版》

4. (分类讨论思想)已知$\angle AOB = 60^{\circ}$,以$O$为圆心,以任意长为半径作弧,交$OA$,$OB于点M$,$N$,分别以点$M$,$N$为圆心,以大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径作弧,两弧在$\angle AOB内交于点P$,以$OP为边作\angle POC = 15^{\circ}$,则$\angle BOC$的度数为(D)
A.$15^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$15^{\circ}或30^{\circ}$
D.$15^{\circ}或45^{\circ}$

答案： D

5. (绵阳市中考)如图,在$\triangle ABC$中,$AB = 5$,$AD平分\angle BAC交BC于点D$,$DE\perp AC$,垂足为$E$,$\triangle ABD的面积为5$,则$DE$的长为(B)

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$5$

答案： B

6. 如图,在平面直角坐标系中,$AD是Rt\triangle OAB$的角平分线,已知点$D的坐标是(0,-3)$,$AB的长是10$,则$\triangle ABD$的面积为15。

答案： 15

7. 如图,$OC = OD$,$PC = PD$,$PM\perp OC于点M$,$PN\perp OD于点N$。求证：$PM = PN$。

答案： 证明:连接OP.在△OCP和△ODP中,$\begin{cases} OC=OD, \\ PC=PD, \\ OP=OP, \end{cases}$
∴△OCP≌△ODP(SSS),
∴∠POC=∠POD.又
∵PM ⊥OC,PN⊥OD,
∴PM=PN.

8. (新考法·新定理型阅读理解题)角平分线定理：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例,即如图,$\triangle ABC的角平分线BP交AC于点P$,则$\frac{AP}{CP}= \frac{AB}{BC}$。
(1)求证：$\frac{AP}{CP}= \frac{AB}{BC}$；
(2)若$AB = 8$,$BC = 12$,$AC = 10$,求$AP$的长。

答案：

(1)证明:如图 .过点P作PE⊥AB于点E,作PF⊥BC 于点F,过点B作BG⊥AC于点G.
∵BP是△ABC的角平分线，
∴PE =PF,
∴$\frac{S_{\triangle ABP}}{S_{\triangle CBP}}=\frac{\frac{1}{2}AB \cdot PE}{\frac{1}{2}BC \cdot PF}=\frac{AB}{BC}$.
∵$\frac{S_{\triangle ABP}}{S_{\triangle CBP}}=\frac{\frac{1}{2}AP \cdot BG}{\frac{1}{2}CP \cdot BG}=\frac{AP}{CP}$,
∴$\frac{AP}{CP}=\frac{AB}{BC}$;
(2)解:
∵AB=8,BC =12,$\frac{AP}{CP}=\frac{AB}{BC}$,
∴$\frac{AP}{CP}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$,
∴$\frac{AP}{AC}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$,
∴AP= $\frac{2}{5}$AC= $\frac{2}{5}$×10=4.