《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版》

7. 如图是一个$3×3$的正方形网格,$A$,$B$,$C$,$D$,$E$,$F$均在格点上,则$\angle 1+\angle 2= $(C)

A.$45^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$90^{\circ}$
D.$100^{\circ}$

答案： C

8. (江西省中考)如图,$CA平分\angle DCB$,$CB = CD$,$DA的延长线交BC于点E$. 若$\angle EAC = 49^{\circ}$,则$\angle BAE$的度数为82°.

答案： 82°

9. 如图,点$M$,$N分别是正五边形ABCDE的边BC$,$CD$上的点,$AB = BC$,$\angle ABC= \angle C = 108^{\circ}$,且$BM = CN$,$AM交BN于点P$.
(1)求证：$\triangle ABM\cong\triangle BCN$；
(2)求$\angle APN$的度数.

答案：
(1)证明:在△ABM和△BCN中,{AB=BC,∠ABM=∠C,BM=CN,
∴ △ABM ≌△BCN(SAS).
(2)解:由
(1)可知△ABM≌△BCN,
∴∠BAM=∠CBN.
∵∠APN=∠BAM+∠ABP,
∴∠APN=∠CBN+∠ABP=∠ABC=108°.

10. (新考法·综合与探究)已知在$\triangle ABC和\triangle AEF$中,$AB = AC$,$AE = AF$,$\angle CAB= \angle EAF$,$BE交FC于O$点.
(1)如图$1$,当$\angle CAB = 90^{\circ}$时,求证：$BE = CF$,$BE\perp CF$；
(2)如图$2$,当$\angle CAB = 60^{\circ}$时,求$\angle BOC$的度数；
(3)猜想：当$\angle CAB= \alpha时(0^{\circ}＜\alpha＜90^{\circ})$,$\angle BOC$的度数为α. (用含$\alpha$的式子表示)

(1)证明:
∵∠CAB=∠EAF,
∴∠CAB+∠CAE=∠EAF+∠CAE,即∠BAE=∠CAF,在△ABE与△ACF中,{AB=AC,∠BAE=∠CAF,AE=AF,
∴△ABE≌△ACF(SAS),
∴BE=CF,∠ACF=∠ABE.
∵∠BAC=90°,
∴∠BCA+∠ABE+∠OBC=∠BCA+∠ACF+∠OBC=∠BCO+∠OBC=90°.
∴∠BOC=90°,即BE⊥CF.
(2)解:同
(1)可得△BAE≌△CAF,
∴∠ABE=∠ACF,
∴∠BCO+∠CBO=∠ACO+∠ACB+∠CBO=∠ABO+∠ACB+∠CBO=∠ACB+∠ABC=180°-60°=120°,
∴∠BOC=60°.

答案：
(1)证明:
∵∠CAB=∠EAF,
∴∠CAB+∠CAE=∠EAF+∠CAE,即∠BAE=∠CAF,在△ABE与△ACF中,{AB=AC,∠BAE=∠CAF,AE=AF,
∴△ABE≌△ACF(SAS),
∴BE=CF,∠ACF=∠ABE.
∵∠BAC=90°,
∴∠BCA+∠ABE+∠OBC=∠BCA+∠ACF+∠OBC=∠BCO+∠OBC=90°.
∴∠BOC=90°,即BE⊥CF.
(2)解:同
(1)可得△BAE≌△CAF,
∴∠ABE=∠ACF,
∴∠BCO+∠CBO=∠ACO+∠ACB+∠CBO=∠ABO+∠ACB+∠CBO=∠ACB+∠ABC=180°-60°=120°,
∴∠BOC=60°.
(3)α