《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版》

10. 已知代数式$A= (x - 1)(x - 2)$,$B= (x + 1)(x - 4)$,则$A$＞$B$.(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)

答案： ＞

11. (数形结合法)用如图所示的正方形和长方形卡片若干张拼成一个长为$2a + b$、宽为$a + 3b$的长方形,需要$A$类卡片2张,$B$类卡片7张,$C$类卡片3张.

答案： 2 7 3

12. (日常生活情境)如图为某月的日历(数字隐去),$A$,$B$,$C$,$D$代表当日的数字,设$A为a$,则$B\cdot D - A\cdot C= $$7a+48$.(用含$a$的代数式表示)

答案： $7a+48$

13. 已知$x^{2}-2x = 1$,求$(x - 1)(3x + 1)-(x + 1)^{2}$的值.

答案： 解:原式$=3x^{2}+x-3x-1-x^{2}-2x-1=2x^{2}-4x-2,\because x^{2}-2x=1,\therefore 2x^{2}-4x=2,\therefore$原式$=2-2=0.$

14. 甲、乙两人共同计算一道整式乘法：$(2x + a)\cdot(3x + b)$.由于甲抄错了第一个多项式中$a$的符号,得到的结果为$6x^{2}+11x - 10$；由于乙漏抄了第二个多项式中$x$的系数,得到的结果为$2x^{2}-9x + 10$.
(1)你能求出$a$,$b$的值吗？
(2)请你计算出这道整式乘法的正确结果.

答案：
(1)解:由题意,得$(2x-a)(3x+b)=6x^{2}-(3a-2b)x-ab=6x^{2}+11x - 10.(2x+a)(x+b)=2x^{2}+(a+2b)x+ab=2x^{2}-9x + 10.\therefore \left\{\begin{array}{l} -(3a-2b)=11,\\ a+2b=-9,\end{array}\right. \therefore \left\{\begin{array}{l} a=-5,\\ b=-2.\end{array}\right. $
(2)$(2x-5)(3x-2)=6x^{2}-19x+10.$

15. (新考法·证明代数结论)观察下列等式：
①$(a + 1)(a^{2}-a + 1)= a^{3}+1$,
②$(a + 2)(a^{2}-2a + 4)= a^{3}+8$,
③$(a + 3)(a^{2}-3a + 9)= a^{3}+27$,
…
(1)写出第6个等式：$(a + 6)(a^{2}-6a + 36)=a^{3}+216$；
(2)请写出你发现的规律：$(a + n)(a^{2}-na + n^{2})=a^{3}+n^{3}$(用含$n$的式子表示),并进行验证.
验证如下:左边$=(a + n)(a^{2}-na + n^{2})=a(a^{2}-na + n^{2})+n(a^{2}-na + n^{2})=a^{3}-na^{2}+an^{2}+na^{2}-an^{2}+n^{3}=a^{3}+n^{3}$,右边$=a^{3}+n^{3},\therefore$左边=右边,即$(a + n)(a^{2}-na + n^{2})=a^{3}+n^{3}.$

答案：
(1)$(a + 6)(a^{2}-6a + 36)=a^{3}+216$
(2)$(a + n)(a^{2}-na + n^{2})=a^{3}+n^{3}$ 验证如下:左边$=(a + n)(a^{2}-na + n^{2})=a(a^{2}-na + n^{2})+n(a^{2}-na + n^{2})=a^{3}-na^{2}+an^{2}+na^{2}-an^{2}+n^{3}=a^{3}+n^{3}$,右边$=a^{3}+n^{3},\therefore$左边=右边,即$(a + n)(a^{2}-na + n^{2})=a^{3}+n^{3}.$