《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版》

1. 某小组利用延时课进行三角形外角知识的相关研究,制定项目式学习表如下,请你解答任务中的问题:

答案： 1.
(1)解:
∵∠A=30°,∠B=40°,
∴∠AEC=∠A+∠B=70°.
∵∠APC=110°,
∴∠C=∠APC-∠AEC=40°;
(2)∠APC=∠A+∠B+∠C.理由如下:
∵∠AEC是△ABE的外角.
∴∠AEC=∠A+∠B.
∵∠APC是△PEC的外角,
∴∠APC=∠AEC+∠C,
∴∠APC=∠A+∠B+∠C.

2. 我们定义:在一个三角形中,若一个角的度数是另一个角的度数的 $ 4 $ 倍,则这样的三角形称之为“和谐三角形”.如:三个内角分别为 $ 105^{\circ} $, $ 60^{\circ} $, $ 15^{\circ} $ 的三角形是“和谐三角形”.
【概念理解】
如图 1, $ \angle MON = 60^{\circ} $,点 $ A $ 在边 $ OM $ 上,过点 $ A $ 作 $ AB \perp OM $ 交 $ ON $ 于点 $ B $.以 $ A $ 为端点作射线 $ AD $,交线段 $ OB $ 于点 $ C $(点 $ C $ 不与 $ O $, $ B $ 重合)
(1) $ \angle ABO $ 的度数为30°, $ \triangle AOB $不是(填“是”或“不是”)“和谐三角形”;
(2)若 $ \angle ACB = 84^{\circ} $,试说明: $ \triangle AOC $ 是“和谐三角形”.
解:
∵∠ACB是△AOC的一个外角.
∴∠ACB=∠O+∠OAC,又∠O=60°,∠ACB=84°,
∴∠OAC=24°,∠ACO=180°-84°=96°,
∴∠ACO=4∠OAC,
∴△AOC是"和谐三角形".
【应用拓展】
如图 2,点 $ D $ 在 $ \triangle ABC $ 的边 $ AB $ 上,连接 $ DC $,作 $ \angle ADC $ 的平分线交 $ AC $ 于点 $ E $,在 $ DC $ 上取点 $ F $,使 $ \angle EFC + \angle BDC = 180^{\circ} $, $ \angle DEF = \angle B $,若 $ \triangle BCD $ 是“和谐三角形”.请直接写出 $ \angle B $ 的度数为30°或80°.

答案： 2.
(1)30° 不是
(2)解:
∵∠ACB是△AOC的一个外角.
∴∠ACB=∠O+∠OAC,又∠O=60°,∠ACB=84°,
∴∠OAC=24°,∠ACO=180°-84°=96°,
∴∠ACO=4∠OAC,
∴△AOC是"和谐三角形".
【应用拓展】30°或80°