《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版》

1. (答题模板)将下列证明过程补充完整.
已知:$\triangle ABC的三个内角为\angle BAC,\angle ABC,\angle ACB$.
求证:$\angle ACB+\angle ABC+\angle BAC= 180^{\circ}$.
证明:如图,延长$BC到点D$,过点$C作CE//$AB,
$\therefore\angle BAC= $∠3(两直线平行,内错角相等),
$\angle ABC= $∠2(两直线平行,同位角相等).
$\because\angle 1+\angle 2+\angle 3= 180^{\circ}$(平角的定义),
$\therefore\angle 1+$∠ABC$+$∠BAC$=180^{\circ}$(等量代换),
即$\angle ACB+\angle ABC+\angle BAC= $180°.

答案： AB ∠3 ∠2 两直线平行,同位角相等 ∠ABC ∠BAC 180°

2. 在$\triangle ABC$中,$\angle B= 3\angle A,\angle C= 5\angle A$,求$\triangle ABC$的三个内角的度数.

答案： 解:设∠A=x,则∠B=3x,∠C=5x,根据题意,得x+3x+5x=180°,解得x=20°,则3x=60°,5x=100°,
∴∠A=20°,∠B=60°,∠C=100°.

3. 如图是$A,B,C$三个岛的平面图,$C岛在A岛的北偏东35^{\circ}$方向,$B岛在A岛的北偏东65^{\circ}$方向,$C岛在B岛的北偏西40^{\circ}$方向.
(1)求从$C岛看A,B两岛的视角\angle ACB$的度数;(题中三个条件均用到)
(2)聪明的刘凯同学发现解决第(1)问,可以不用“$B岛在A岛的北偏东65^{\circ}$方向”这个条件,你能求吗?

答案：
(1)解:由题意可知∠DAC=35°,∠DAB=65°,∠EBC=40°,
∴∠CAB=∠DAB-∠DAC=65°-35°=30°,
∵AD//BE,
∴∠ABE=180°-∠DAB=115°,
∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=115°-40°=75°,
∴∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=180°-30°-75°=75°.
(2)可以求出,过点C作AD的平行线CF,则AD//CF//EB,利用“两直线平行,内错角相等”,可得∠ACB等于∠DAC与∠EBC的和,即∠ACB=∠DAC+∠EBC=35°+40°=75°.

4. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A= 40^{\circ}$,$BD平分\angle ABC$,$CE\perp AB于点E$,$\angle BDC= 70^{\circ}$,$BD$,$CE相交于点F$,求$\angle ABC和\angle BFC$的度数.

答案： 解:
∵∠A=40°,∠BDC=70°,
∴∠ABD=∠BDC-∠A=70°-40°=30°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠ABD=60°.
∵CE⊥AB,
∴∠BEC=90°,
∴∠BFC=∠ABD+∠BEC=30°+90°=120°.