《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版》

1. 如图,已知$\triangle ABC的角平分线CD交AB于D$,$DE// BC交AC于E$.已知$DE = 3$,$AE = 4$,求$AC$的长.

答案： 解:
∵DE//BC,
∴∠1=∠3.又
∵CD平分∠ECB,
∴∠2=∠3,
∴∠1 =∠2,
∴DE=EC=3,
∴AC=AE +CE=4+3=7.

2. 如图,$\triangle ABC的周长为30$,把$\triangle ABC的边AC$对折,使点$C和点A$重合,折痕交$BC于点D$,交$AC于点E$,连接$AD$,若$AE = 4$,求$\triangle ABD$的周长.

答案： 解:由题意知DE垂直平分AC,
∴DA=DC,AE=CE=4,
∴$C_{△ABD}=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=30 - 8=22.$

3. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC$,$\angle ACB的平分线相交于点O$,过点$O作EF// BC分别交AB$,$AC于点E$,$F$.
(1)求证:$OE = BE$;
(2)若$\triangle ABC的周长是25$,$BC = 9$,求$\triangle AEF$的周长.

答案：
(1)解:
∵BO平分∠ABC,
∴∠EBO =∠OBC.
∵EF//BC,
∴∠EOB=∠OBC,
∴∠EOB=∠EBO,
∴OE=BE;　　
(2)同理可证FO=FC.
∴$C_{△AEF}=AE+AF+EO+FO=AE +AF+EB+FC=AB+AC=25 - 9 =16.$

4. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD为\triangle ABC$的角平分线,$CE\perp AD于E$,延长$CE交AB于点F$.若$\angle ACE = 2\angle B$,$AB = 14$,$AC = 8$,求$CE$的长.

答案： 解:易得△ACE≌△AFE,
∴∠ACE =∠AFE,AC=AF=8,CE=EF,
∵∠ACE=2∠B,∠AFE=∠FCB +∠B,
∴2∠B=∠FCB+∠B,
∴∠B=∠FCB,
∴CF=BF=AB−AF=14 - 8=6,
∴CE=EF=$\frac{1}{2}$CF =3.