《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版》

8. 将三等分角器改造成如图所示,点$C$为固定点,$CP = CD = DE = EF$,发现$CD \perp DE$时,$PD = 8$,则此时点$E到DF$的距离为4.

答案： 4

9. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle B = 70^{\circ}$,以点$C$为圆心,$CA$长为半径作弧,交直线$BC于点P$,连接$AP$,则$\angle BAP$的度数是15°或75°.

答案： 15°或75°

10. 如图,在$\triangle ABC$中,点$D为BC$边的中点,过点$A作EF // BC$,且$AE = AF$,$DE = DF$.
求证：(1)$\angle B = \angle C$；(2)$EG = FH$.

答案：
(1)证明:连接AD,在△EFD中,
∵DE=DF,AE=AF,
∴∠E=∠F,且DA⊥EF,
∵EF//BC,
∴AD⊥BC,又
∵D为BC的中点,
∴AD为BC的垂直平分线,
∴AB=AC,
∴∠B=∠C;
(2)在△EFD中,∠EDA=∠FDA,DE=DF,
∴90°-∠EDA=90°-∠FDA,即∠EDB=∠FDC,在△GDB和△HDC中,$\left\{\begin{array}{l} ∠GDB=∠HDC,\\ BD=CD,\\ ∠B=∠C,\end{array}\right.$
∴△GDB≌△HDC(ASA),
∴GD=HD,
∴ED-GD=FD-HD,即EG=FH.

11. (新考法·综合与探究)在$\triangle ABC$中,$AB = AC$.
(1)如图①,若$\angle BAD = 30^{\circ}$,$AD是BC$边上的高,$AD = AE$,则$\angle EDC$的度数为15°；
(2)如图②,若$\angle BAD = 40^{\circ}$,$AD是BC$边上的高,$AD = AE$,则$\angle EDC$的度数为20°；
(3)思考：通过以上两题,你发现$\angle BAD与\angle EDC$之间有什么关系？请用式子表示：∠BAD=2∠EDC；
(4)如图③,$AD = AE$,如果$AD不是BC$上的高,上述关系是否成立？请说明理由.

解:∠BAD=2∠EDC仍成立.理由如下:
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED,
∴∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=∠EDC+∠C+∠EDC=2∠EDC+∠C.又
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠BAD=2∠EDC.

答案：
(1)15°
(2)20°
(3)∠BAD=2∠EDC
(4)解:∠BAD=2∠EDC仍成立.理由如下:
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED,
∴∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=∠EDC+∠C+∠EDC=2∠EDC+∠C.又
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠BAD=2∠EDC.