《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版》

10. 如图,在△ABC 中,D,E,F 分别是 BC,AD,CE 的中点$,S_{△ABC} = 4 cm^2,$则$ S_{△BEF} $等于(B)

$A.2 cm^2$
$B.1 cm^2$
C.$\frac{1}{2}$cm^2
D.$\frac{1}{4}$cm^2

答案： B

11. 在△ABC 中,AD 为 BC 边上的高,已知 AD = 4,BD = 2CD,△ABC 的面积为 12,则 CD 的长为2 或 6。

答案： 2 或 6

12. 在△ABC 中,AB = AC,BD 为△ABC 的中线,且 BD 将△ABC 的周长分为 12 cm 与 15 cm 两部分,求三角形各边长。

答案：
解:如图 ,
∵ BD 为△ABC 的中线，
∴ AD = CD. 设 AD = CD = x，则 AB = AC = 2x. ① 当$x + 2x = 12$，$BC + x = 15$时，解得 x = 4，BC = 11，此时△ABC 的三边长为 AB = AC = 8，BC = 11(符合题意)；② 当$x + 2x = 15$，$BC + x = 12$时，解得 x = 5，BC = 7，此时△ABC 的三边长为 AB = AC = 10，BC = 7(符合题意). 综上所述，△ABC 的三边长为 AB = AC = 8，BC = 11 或 AB = AC = 10，BC = 7.

13. (1)如图 1,在△ABC 中,E,F 分别为 AB,BC 的中点,请仅用无刻度的直尺画出 AC 的中点 M；
(2)如图 2,在△ABC 中,AB = 3,BC = 2。
①请画出△ABC 的两条高 AE,CD；
②求$\frac{AE}{CD}$的值。

答案：

(1)解:如图所示;　　 　　 　　
(2)① 如图所示; ②
∵ $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB \cdot CD=\frac{1}{2}BC \cdot AE$，
∴ $3CD = 2AE$，
∴ $\frac{AE}{CD}=\frac{3}{2}$.

14. (核心素养·推理能力)已知在△ABC 中,AB = AC,D 是 BC 边上任意一点,过点 D 分别向 AB,AC 引垂线,垂足分别为 E,F。
(1)当点 D 在 BC 的什么位置时(如图①),DE = DF？并证明；
(2)过点 C 作 AB 边上的高 CG(如图②),试猜想 DE,DF,CG 的长之间存在怎样的数量关系,并说明理由。

答案：
(1)解:当点 D 是 BC 的中点时，DE = DF. 证明如下:连接 AD.
∵ 点 D 为 BC 的中点，
∴ $S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ACD}$，即 $\frac{1}{2}AB \cdot DE=\frac{1}{2}AC \cdot DF$.
∵ AB = AC，
∴ DE = DF; 　　
(2)$CG=DE + DF$. 理由如下:连接 AD.
∵ $S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ADB}+S_{\triangle ADC}$，
∴ $\frac{1}{2}AB \cdot CG=\frac{1}{2}AB \cdot DE+\frac{1}{2}AC \cdot DF$.
∵ AB = AC，
∴ $CG=DE + DF$.