《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版》

10. (教材第132页练习第1题变式)分解因式：
(1) $ 4ab^{2} - 4a^{2}b - b^{3} $；
(2) $ x^{2}(a - 1) + y^{2}(1 - a) $；
(3) $ (x + y)x^{2} - 2(y + x)xy + (x + y)y^{2} $；
(4) $ (a - b)b^{2} - 9(a - b) $.

答案：
(1)解:原式=-b³+4ab²-4a²b=-b(b²-4ab+4a²)=-b(b-2a)².
(2)解:原式=x²(a-1)-y²(a-1)=(a-1)(x²-y²)=(a-1)(x+y)(x-y).
(3)解:原式=(x+y)(x²-2xy+y²)=(x+y)(x-y)².
(4)解:原式=(a-b)(b²-9)=(a-b)(b+3)(b-3).

11. (原创题)已知 $ x + y = 3 $,$ x - y = -2 $,求 $ (x^{2} + y^{2})^{2} - 4x^{2}y^{2} $ 的值.

答案： 解:(x²+y²)²-4x²y²=(x²+2xy+y²)(x²-2xy+y²)=(x+y)²(x-y)².将x+y=3,x-y=-2代入,得原式=(x+y)²(x-y)²=3²×(-2)²=9×4=36.

12. (新考法·阅读与理解)阅读下列材料：
分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法,但有部分项数多于3的多项式只单纯用上述方法就无法分解,如 $ m^{2} - 2mn + n^{2} - 16 $,我们细心观察这个式子就会发现,前三项符合完全平方公式,进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解. 过程如下：$ m^{2} - 2mn + n^{2} - 16 = (m - n)^{2} - 16 = (m - n + 4)(m - n - 4) $,这种分解因式的方法叫分组分解法. 利用这种分组的思想方法解决下列问题：
(1)用“分组分解法”分解因式：$ a^{2} - 2ab + b^{2} + a - b $；
(2)已知 $ a $,$ b $,$ c $ 为 $ \triangle ABC $ 的三边,且 $ b^{2} - 2ac = c^{2} - 2ab $,试判断 $ \triangle ABC $ 的形状.

答案：
(1)解:原式=(a-b)²+(a-b)=(a-b)(a-b+1).
(2)
∵b²-2ac=c²-2ab,
∴b²-c²-2ac+2ab=0,(b+c)(b-c)+2a(b-c)=0,
∴(b-c)(b+c+2a)=0,
∵a,b,c为△ABC的三边,
∴b+c+2a＞0,
∴b-c=0,
∴b=c,
∴△ABC为等腰三角形.