《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版》

1. 如图,$ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,$ \angle BAC = 120^{\circ} $,$ AC $ 的垂直平分线交 $ BC $ 于点 $ D $,交 $ AC $ 于点 $ E $,$ DE = 1 $,则 $ BC $ 的长为 $\underline{6}$。

答案： 6

2. 如图,已知 $ \angle AOB = 60^{\circ} $,点 $ P $ 在边 $ OA $ 上,$ OP = 8 $,点 $ M $,$ N $ 在边 $ OB $ 上,$ PM = PN $。若 $ MN = 2 $,则 $ OM $ 的长为 $\underline{3}$。

答案： 3

3. 如图,$ \angle C = 30^{\circ} $,$ \angle B = 90^{\circ} $,$ \angle ADC = 120^{\circ} $,若 $ AB = 3 $,$ CD = 9 $,则 $ AD $ 的长为 $\underline{3}$。

答案： 3

【对应训练】 如图,$ \triangle ABD $,$ \triangle AEC $ 都是等边三角形,$ CD $ 分别与 $ AB $,$ BE $ 交于点 $ G $,$ F $。
① 求 $ \angle BFC $ 的度数；② 连接 $ AF $,求证：$ FA $ 平分 $ \angle DFE $。

答案： ①解:易证△DAC≌△BAE，
∴∠ADC =∠ABE，
∵∠AGD=∠FGB，
∴∠GFB=∠DAG=60°，
∴∠BFC=180°−60°=120°;　　②证明:分别过点A作AM⊥CD于点M，AN⊥BE于点N，
∵△DAC≌△BAE，
∴S△DAC=S△BAE，
∵AM⊥CD，AN⊥BE，
∴$\frac{DC\cdot AM}{2}=\frac{BE\cdot AN}{2}$，
∵DC=BE，
∴AM=AN，
∴FA平分∠DFE.