《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版》

1. 【跨学科】小亮同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后, 对其作了进一步的探究: 在一个支架的横杆点 $ O $ 处用一根细绳悬挂一个小球 $ A $, 小球 $ A $ 可以自由摆动, 如图, $ OA $ 表示小球静止时的位置. 当小明用发声物体靠近小球时, 小球从 $ OA $ 摆到 $ OB $ 位置, 此时过点 $ B $ 作 $ BD \perp OA $ 于点 $ D $, 当小球摆到 $ OC $ 位置时, $ OB $ 与 $ OC $ 恰好垂直 (图中的 $ A 、 B 、 O 、 C $ 在同一平面上), 过点 $ C $ 作 $ CE \perp OA $ 于点 $ E $, 测得 $ BD = 7 \mathrm{~cm}, OA = 15 \mathrm{~cm} $.
(1) 求证: $ \angle BOD = \angle C $;
(2) 求 $ AE $ 的长.

答案： 1.
(1)证明：
∵BD⊥OA,CE⊥OA,OB⊥OC,
∴∠BDO=∠OEC=∠BOC=90°,
∴∠BOD+∠COE=90°,∠C+∠COE=90°,
∴∠BOD=∠C;
(2)解:由题意可知,OB=OC,由
(1)可知,∠BOD=∠C,在△BOD和△OCE中,∠BDO=∠OEC,∠BOD=∠C,OB=CO,
∴△BOD≌△OCE(AAS),
∴BD=OE=7cm,
∵OA=15cm,
∴AE=OA - OE=15 - 7=8(cm).答:AE的长为8cm.

2. 如图, 小明在游乐场玩两层型滑梯, 每层楼梯的高度相同 $ (EH = HD) $, 都为 2 米, 他想知道左右两个滑梯 $ BC $ 和 $ EF $ 的长度是否相等, 于是制定了如下方案:

(1) 根据小明的测量方案和数据, 判断两个滑梯 $ BC $ 和 $ EF $ 的长度是否相等? 并说明理由;
(2) 试猜想左右两个滑梯 $ BC $ 和 $ EF $ 所在直线的位置关系, 并加以证明.

答案：
2.
(1)解:BC=EF.理由如下:由题意可知,∠CAB=∠EDF=90°,DF=DH=AC=2米,DE=2×2=4=AB.在△ABC和△DEF中,AB=DE,∠CAB=∠FDE,AC=DF,
∴△ABC≌△DEF(SAS),
∴BC=EF.
(2)BC⊥EF.证明:如图,延长BC交EF于点G.
∵△ABC≌△DEF,
∴∠BCA=∠EFD.由题意得∠BAC=90°,
∴∠CBA+∠BCA=90°,
∴∠CBA+∠EFD=90°,
∴∠BGF=90°,
∴BC⊥EF.