《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版》

3. 阅读下列材料,然后解答问题:
问题:因式分解:$x^3 - 5x^2 + 4$
解答:对于任意一元整式$f(x)$,其奇次项系数之和为$m$,偶次项系数之和为$n$,若$m = n$,则$f(-1) = 0$,若$m = -n$,则$f(1) = 0$,在$x^3 - 5x^2 + 4$中,因为$m = 1,n = -5 + 4 = -1$,所以把$x = 1代入整式x^3 - 5x^2 + 4$,得其值为0,由此确定整式$x^3 - 5x^2 + 4中有因式(x - 1)$,于是可设$x^3 - 5x^2 + 4 = (x - 1)(x^2 + px + q)$,分别求出$p,q$值,再代入$x^3 - 5x^2 + 4 = (x - 1)(x^2 + px + q)$,就可以把整式$x^3 - 5x^2 + 4$因式分解,这种因式分解的方法叫作“试根法”.
(1)上述式子中$p = $-4,$q = $-4;
(2)对于一元整式$x^3 + 6x^2 + 11x + 6$,必定有$f$(-1)$ = 0$;
(3)请你用“试根法”分解因式:$x^3 + 6x^2 + 11x + 6$.
解：把x=-1代入x³+6x²+11x+6，得-1+6-11+6=0，
∴x³+6x²+11x+6=(x+1)(x²+ax+b)=x³+ax²+bx+x²+ax+b=x³+(a+1)x²+(a+b)x+b，
∴a+1=6，b=6，解得：a=5，b=6，
∴x³+6x²+11x+6=(x+1)(x²+5x+6)=(x+1)(x+2)(x+3).

答案： 3.
(1)-4 -4
(2)-1
(3)解：把x=-1代入x³+6x²+11x+6，得-1+6-11+6=0，
∴x³+6x²+11x+6=(x+1)(x²+ax+b)=x³+ax²+bx+x²+ax+b=x³+(a+1)x²+(a+b)x+b，
∴a+1=6，b=6，解得：a=5，b=6，
∴x³+6x²+11x+6=(x+1)(x²+5x+6)=(x+1)(x+2)(x+3).