《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版》

1. 如图, 在$\triangle ABC$中,$AC = 18cm$,$BC = 20cm$,点$M从点A出发以每秒2cm的速度向点C$运动,点$N从点C出发以每秒1.6cm的速度向点B$运动,当其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动,当$\triangle CMN是以MN$为底的等腰三角形时,求等腰三角形$CMN$的腰长.

答案： 解:设运动的时间为xs,则,AM=2x cm,CN=1.6x cm.
∴CM=(18-2x)cm.当△CMN是以MN为底的等腰三角形时,CM=CN,即18-2x=1.6x,解得x=5.
∴CM=CN=8cm,即等腰三角形CMN的腰长为8cm.

2. 如图, 在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$AC边上的高BD = 4$,$P为BC$上一点,$PE\perp AC于点E$,$PF\perp AB于点F$,求$PE + PF$的值.

答案： 解:连接AP.
∵S△ABC=S△ABP+S△ACP,
∴$\frac{1}{2}$AC·BD=$\frac{1}{2}$AB·PF+$\frac{1}{2}$AC·PE.
∵AB=AC,
∴BD=PF+PE.
∵BD=4,
∴PE+PF=4.

3. 已知在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,点$D是边AB$上一点,$\angle BCD = \angle A$.
(1) 如图①,试说明$CD = CB$;
(2) 如图②,过点$B作BE\perp AC$,垂足为$E$,$BE与CD相交于点F$.
①试说明$\angle BCD = 2\angle CBE$;
②如果$\triangle BDF$是等腰三角形,求$\angle A$的度数.

答案： （1）解:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠BDC是△ADC的一个外角,
∴∠BDC=∠A+∠ACD.又
∵∠ACB=∠BCD+∠ACD,∠BCD=∠A,
∴∠BDC=∠ACB.
∴∠ABC=∠BDC.
∴CD=CB.
（2）①
∵BE⊥AC,
∴∠BEC=90°.
∴∠CBE+∠ACB=90°.设∠CBE=α,则∠ACB=90°-α,
∴∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°-α.
∴∠BCD=180°-∠BDC-∠ABC=180°-(90°-α)-(90°-α)=2α.
∴∠BCD=2∠CBE.②∠A的度数为45°或36°.