《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版》

3. (1) 如图①, 在四边形 $ ABCD $ 中, $ AB = AD, \angle B = \angle D = 90^{\circ}, E, F $ 分别是边 $ BC, CD $ 上的点, 且 $ \angle EAF = \frac{1}{2} \angle BAD $. 请直接写出线段 $ EF, BE, FD $ 之间的数量关系: ______;
(2) 如图②, 在四边形 $ ABCD $ 中, $ AB = AD, \angle ABC + \angle D = 180^{\circ}, E, F $ 分别是边 $ BC, CD $ 上的点, 且 $ \angle EAF = \frac{1}{2} \angle BAD $, (1) 中的结论是否仍然成立? 请写出证明过程;
(3) 在四边形 $ ABCD $ 中, $ AB = AD, \angle B + \angle D = 180^{\circ}, E, F $ 分别是边 $ BC, CD $ 所在直线上的点, 且 $ \angle EAF = \frac{1}{2} \angle BAD $. 请直接写出线段 $ EF, BE, FD $ 之间的数量关系: ______.

答案：
3.
(1)EF=BE+FD
(2)
(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立.证明:如图②,延长EB到G,使BG=DF,连接AG.
∵∠ABC+∠D=180°,∠ABG+∠ABC=180°,
∴∠ABG=∠D,
∵在△ABG与△ADF中,AB=AD,∠ABG=∠D,BG=DF,
∴△ABG≌△ADF(SAS).
∴AG=AF,∠1=∠2.
∴∠1+∠3=∠2+∠3= $\frac{1}{2}$∠BAD=∠EAF.
∴∠GAE=∠EAF.又AE=AE,
∴△AEG≌△AEF(SAS).
∴EG=EF.
∵EG=BE+BG,
∴EF=BE+FD.
(3)EF=BE - FD或EF=FD - BE或EF=BE+FD