《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版》

10. (跨学科)如图①,$MN$为平面镜,$AO,OB$分别为入射光线和反射光线,则$\angle AOM= \angle BON$,如图②,一束光沿$CD$的方向射入,经过平面镜$OB,OA$反射后,沿$EF$方向射出,已知$\angle AEF = 40^{\circ},\angle AOB = 120^{\circ}$,则$\angle CDB$的度数为20°.

答案： 20°

11. (原创题)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B= \angle C = 45^{\circ}$,点$D在BC$边上,点$E在AC$边上,连接$DE$,且$\angle ADE= \angle AED$.
(1) 当$\angle BAD = 60^{\circ}$时,则$\angle CDE = $30°.
(2) 当点$D在BC$边(点$B,C$除外)上运动时,试写出$\angle BAD与\angle CDE$的数量关系,并说明理由.

(2)解:∠CDE=$\frac{1}{2}$∠BAD.理由如下:
∵∠ADC=∠B+∠BAD=45°+∠BAD,∠ADE=∠ADC-∠CDE,
∴∠ADE=45°+∠BAD-∠CDE.
∵∠AED=∠C+∠CDE=45°+∠CDE,∠ADE=∠AED,
∴45°+∠BAD-∠CDE=45°+∠CDE.
∴∠CDE=$\frac{1}{2}$∠BAD.

答案：
(1)30°
(2)解:∠CDE=$\frac{1}{2}$∠BAD.理由如下:
∵∠ADC=∠B+∠BAD=45°+∠BAD,∠ADE=∠ADC-∠CDE,
∴∠ADE=45°+∠BAD-∠CDE.
∵∠AED=∠C+∠CDE=45°+∠CDE,∠ADE=∠AED,
∴45°+∠BAD-∠CDE=45°+∠CDE.
∴∠CDE=$\frac{1}{2}$∠BAD.

12. (新考法·综合与实践)综合与实践课上,老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动.
(1)【初步探究】在$\triangle ABC$中,$\angle B = 42^{\circ},\angle C = 70^{\circ}$,作$\angle BAC的平分线AD交BC于点D$,在图1中,作$AE\perp BC于E$. 直接写出$\angle DAE$的度数为14°.
(2)【迁移探究】在$\triangle ABC$中,$\angle B = 42^{\circ},\angle C = 70^{\circ}$,作$\angle BAC的平分线AD交BC于点D$. 如图2,在$AD上任取点F$,作$FE\perp BC$,垂足为点$E$,直接写出$\angle DFE$的度数为14°.
(3)【拓展应用】如图③,在$\triangle ABC$中,$\angle C＞\angle B$,$AD平分\angle BAC$,点$F在DA$的延长线上,$FE\perp BC于E$,求出$\angle DFE与\angle C,\angle B$之间的数量关系.

答案：
(1)14°
(2)14°
(3)解:在△ABC中,∠BAC=180°-(∠B+∠C),
∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=90°-$\frac{1}{2}$(∠B+∠C).在△ADC中∠ADC=180°-∠C-∠CAD=180°-∠C-90°+$\frac{1}{2}$(∠B+∠C)=90°+$\frac{1}{2}$∠B-$\frac{1}{2}$∠C,
∵EF⊥BC,
∴∠FED=90°,
∴∠DFE=90°-∠ADC=90°-90°-$\frac{1}{2}$∠B+$\frac{1}{2}$∠C=$\frac{1}{2}$∠C-$\frac{1}{2}$∠B.