《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版》

1. 综合与探究
【知识生成】我们已经知道,通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式,例如,由图1可以得到$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$,基于此,请解答下列问题.


【直接应用】(1)若$x + y = 4,x^2 + y^2 = 9$,求$xy$的值;
【类比应用】(2)若$x(4 - x) = 2$,则$x^2 + (4 - x)^2 = $____12;
【知识迁移】(3)将两块全等的特制直角三角板($∠AOB = ∠COD = 90^{\circ}$)按如图2所示的方式放置,其中点$A,O,D$在同一直线上,点$B,O,C$也在同一直线上,连接$AC,BD$,若$AD = 12$,$S_{△AOC} + S_{△BOD} = 40$,求一块直角三角板的面积.

(1)解：
∵x+y=4，
∴(x+y)²=x²+2xy+y²=16，又
∵x²+y²=9.
∴2xy=16-9=7，
∴xy=3.5；
(3)
∵两块直角三角板全等，
∴AO=CO，BO=DO，∠AOB=∠COD=90°，
∵点A，O，D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上，
∴∠AOC=180°-∠COD=90°，∠BOD=∠AOC=90°.设AO=CO=x，BO=DO=y.
∵AD=AO+OD=x+y=12，
∴(x+y)²=12²，即x²+y²+2xy=144，
∴2xy=144-(x²+y²)，又
∵S△AOC+S△BOD= $\frac{1}{2}x^2$+$\frac{1}{2}y^2$=40，
∴x²+y²=80，
∴2xy=144-80=64，
∴xy=32，
∴S△AOB=$\frac{1}{2}OA·OB$=$\frac{1}{2}xy$=16，
∴一块直角三角板的面积为16.

答案： 1.
(1)解：
∵x+y=4，
∴(x+y)²=x²+2xy+y²=16，又
∵x²+y²=9.
∴2xy=16-9=7，
∴xy=3.5；
(2)12
(3)
∵两块直角三角板全等，
∴AO=CO，BO=DO，∠AOB=∠COD=90°，
∵点A，O，D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上，
∴∠AOC=180°-∠COD=90°，∠BOD=∠AOC=90°.设AO=CO=x，BO=DO=y.
∵AD=AO+OD=x+y=12，
∴(x+y)²=12²，即x²+y²+2xy=144，
∴2xy=144-(x²+y²)，又
∵S△AOC+S△BOD= $\frac{1}{2}x^2$+$\frac{1}{2}y^2$=40，
∴x²+y²=80，
∴2xy=144-80=64，
∴xy=32，
∴S△AOB=$\frac{1}{2}OA·OB$=$\frac{1}{2}xy$=16，
∴一块直角三角板的面积为16.

2. 已知某工厂接到订单,需要边长为$(a + 3)$和3的两种正方形卡纸.
(1)仓库只有边长为$(a + 3)$的正方形卡纸,现决定将部分边长为$(a + 3)$的正方形纸片,按图甲所示裁剪得边长为3的正方形.
①如图乙,求裁剪正方形后剩余部分的面积(用含$a$的代数式来表示);
②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形(不重叠无缝隙),则拼成的长方形的长和宽分别是多少？(用含$a$的代数式来表示)
(2)若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部,按图1,图2两种方式放置(图1,图2中两张正方形纸片均有部分重叠),盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示.设图1中阴影部分的面积为$S_1$,图2中阴影部分的面积为$S_2$,测得盒子底部长方形的长比宽多3,求$S_2 - S_1$的值.

答案： 2.
(1)解：①裁剪正方形后剩余部分的面积=(a+3)²-3²=(a+3-3)(a+3+3)=a(a+6)=a²+6a； ②拼成的长方形的宽是：a+3-3=a，长是：a+3+3=a+6；
(2)设AB=x，则BC=x+3，
∴图1中阴影部分的面积为S₁=x(x+3)-(a+3)²-3²+3(a+6-x-3)=x²-a²-3a-9，图2中阴影部分的面积为S₂=x(x+3)-(a+3)²-3²+3(a+6-x)=x²-a²-3a，
∴S₂-S₁=x²-a²-3a-(x²-a²-3a-9)=9.