《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版》

8. (淄博市中考)若多项式 $ 4 x^{2}-m x y+9 y^{2} $ 能用完全平方公式因式分解,则 $ m $ 的值是$\pm12$。

答案： $\pm12$

9. 已知 $ a \neq b $,若 $ M= a^{2}-a b $,$ N= a b-b^{2} $,则下列说法正确的是(C)
A.$ M \geqslant N $
B.$ M \leqslant N $
C.$ M ＞ N $
D.$ M ＜ N $

答案： C

10. 倩倩有一本密码手册,有如下信息：$ x $,$ x^{2}+1 $,3,$ 3 x+y $,$ y $,$ (x+y)^{2} $ 分别对应6个字：爱,祖,我,华,中,国,现将 $ 3 x^{3} y+6 x^{2} y^{2}+3 x y^{3} $ 因式分解,结果可以是下列哪句话(B)
A.爱我中华
B.我爱中国
C.我爱祖国
D.爱我国

答案： B

11. 已知 $ m $,$ n $ 是实数,则多项式 $ m^{2}+n^{2}-2 m n-2 $ 的最小值为-2。

答案： -2

12. 小明将两块边长分别为 $ m $,$ n $ 的正方形地砖按如图方式摆放,$ A $,$ B $,$ E $ 在同一直线上,连接 $ D G $,$ G E $,若 $ m+n= 7 $,$ m n= 12 $,则阴影部分的面积为18.5。
]

答案： 18.5

13. (教材第132页习题第2题变式)分解因式：
(1) $ (m+n)^{2}-6(m+n)+9 $；
(2) $ 4(a-b)^{2}-12 a(a-b)+9 a^{2} $。

答案：
(1)解:原式$=(m+n)^{2}-2(m+n)\cdot3+3^{2}=(m+n-3)^{2}$.
(2)解:原式$=[2(a-b)-3a]^{2}=(2b+a)^{2}$.

14. (核心素养·模型观念)先阅读材料：
分解因式：$ (a-b)^{2}-2(a-b)+1 $。
解：设 $ a-b= M $,
则原式 $ =M^{2}-2 M+1= (M-1)^{2} $。
再将 $ a-b= M $ 还原,得原式 $ =(a-b-1)^{2} $。上述解题中用到的是“整体思想”,它是数学中常用的一种思想。
任务：
(1) 分解因式：$ (x+y)(x+y-4)+4= $$(x+y-2)^{2}$。
(2) 若 $ a $ 为正整数,则 $ (a-1)(a-2)(a-3)(a-4)+1 $ 为整数的平方,试说明理由。
(2)解:原式$=(a-1)(a-4)(a-2)(a-3)+1=(a^{2}-5a+4)(a^{2}-5a+6)+1$.令$N=a^{2}-5a+4$,则原式$=N(N+2)+1=N^{2}+2N+1=(N+1)^{2}$.$\because a$为正整数,$\therefore N=a^{2}-5a+4$是整数.$\therefore$原式$=(N+1)^{2}$即为整数的平方.

答案：
(1)$(x+y-2)^{2}$
(2)解:原式$=(a-1)(a-4)(a-2)(a-3)+1=(a^{2}-5a+4)(a^{2}-5a+6)+1$.令$N=a^{2}-5a+4$,则原式$=N(N+2)+1=N^{2}+2N+1=(N+1)^{2}$.$\because a$为正整数,$\therefore N=a^{2}-5a+4$是整数.$\therefore$原式$=(N+1)^{2}$即为整数的平方.