《2025年全品学练考八年级数学上册北师大版深圳专版》

关于x轴对称的两个点的坐标之间有什么关系？关于y轴对称的两个点呢？坐标具有这样关系的两个点，关于坐标轴对称吗？

答案： 【解析】：
设平面直角坐标系中有一点$P(x,y)$。
1. **关于$x$轴对称的点的坐标关系**：
过点$P(x,y)$作$x$轴的垂线，垂足为$M$，则$M$的坐标为$(x,0)$。与点$P$关于$x$轴对称的点$P_1$也在过$P$作$x$轴的垂线上，且$PM = P_1M$。
因为点$P$到$x$轴的距离是$\vert y\vert$，所以点$P_1$的纵坐标为$-y$，横坐标不变仍为$x$，即点$P(x,y)$关于$x$轴对称的点$P_1$的坐标是$(x, -y)$。这表明关于$x$轴对称的两个点，横坐标相同，纵坐标互为相反数。
2. **关于$y$轴对称的点的坐标关系**：
过点$P(x,y)$作$y$轴的垂线，垂足为$N$，则$N$的坐标为$(0,y)$。与点$P$关于$y$轴对称的点$P_2$也在过$P$作$y$轴的垂线上，且$PN = P_2N$。
因为点$P$到$y$轴的距离是$\vert x\vert$，所以点$P_2$的横坐标为$-x$，纵坐标不变仍为$y$，即点$P(x,y)$关于$y$轴对称的点$P_2$的坐标是$(-x, y)$。这表明关于$y$轴对称的两个点，纵坐标相同，横坐标互为相反数。
3. **坐标具有这样关系的两个点是否关于坐标轴对称**：
反之，如果两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，设这两个点为$A(x,y)$和$B(x, -y)$，根据上述关于$x$轴对称点的推导过程可知，点$A$和点$B$关于$x$轴对称。
如果两个点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，设这两个点为$C(x,y)$和$D(-x,y)$，根据上述关于$y$轴对称点的推导过程可知，点$C$和点$D$关于$y$轴对称。
【答案】：关于$x$轴对称的两个点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于$y$轴对称的两个点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；坐标具有这样关系的两个点，关于坐标轴对称。

(1)关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数；反过来，横坐标相同、纵坐标互为相反数的两个点关于x轴对称。
(2)关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。反过来，纵坐标相同、横坐标互为相反数的两个点关于y轴对称。

答案：
(1)横　纵　x　
(2)纵　横　y

例1 点A(-1，-2)关于x轴对称的点的坐标是(-1,2)，关于y轴对称的点的坐标是(1,-2)，点(3，-1)与点(-3，-1)关于y轴对称。

答案： (-1,2)　(1,-2)　y

例2 已知点A(a-1，1)与点B(2，b+1)关于x轴对称，求A，B两点的坐标。

答案： 点A的坐标为(2,1),点B的坐标为(2,-1)

例3 若点P(a，b)关于y轴的对称点是$P_{1}$，而点$P_{1}$关于x轴的对称点是$P_{2}$，已知点$P_{2}$的坐标为(-3，4)，求点P的坐标。

答案： (3,-4)