《2025年全品学练考八年级数学上册北师大版深圳专版》

正比例函数$y = kx$的图象是一条过原点的直线，那么一次函数$y = kx + b$的图象又是怎样的呢？一次函数$y = kx + b(k\neq0)$的图象是一条直线。与正比例函数的表达式相比，一次函数的表达式多了一个$b$，$b$对函数图象会有什么影响？$b$决定了一次函数图象与$y$轴交点的位置，当$b\gt0$时，一次函数$y = kx + b$的图象是由正比例函数$y = kx$的图象向上平移$b$个单位长度得到的；当$b\lt0$时，一次函数$y = kx + b$的图象是由正比例函数$y = kx$的图象向下平移$\vert b\vert$个单位长度得到的；当$b = 0$时，一次函数$y = kx + b$就变为正比例函数$y = kx$。

答案： 【解析】：
1. 首先，我们可以通过取一些特殊点来研究一次函数$y = kx + b$的图象。
对于一次函数$y=kx + b$，当$x = 0$时，$y=b$，所以函数图象过点$(0,b)$；当$y = 0$时，$0=kx + b$，解得$x=-\frac{b}{k}(k\neq0)$，所以函数图象过点$(-\frac{b}{k},0)$。
我们知道两点确定一条直线，所以一次函数$y = kx + b(k\neq0)$的图象是一条直线。
2. 然后，对比正比例函数$y = kx$和一次函数$y = kx + b$来分析$b$的影响：
设正比例函数$y = kx$上有一点$(x_0,y_0)$，满足$y_0=kx_0$。
对于一次函数$y = kx + b$，当$x = x_0$时，$y=kx_0 + b=y_0 + b$。
当$b\gt0$时，相当于把正比例函数$y = kx$的图象向上平移$b$个单位长度得到一次函数$y = kx + b$的图象。例如，正比例函数$y = 2x$，当$b = 3$时，一次函数$y = 2x+3$的图象是由$y = 2x$的图象向上平移$3$个单位得到的。
当$b\lt0$时，相当于把正比例函数$y = kx$的图象向下平移$\vert b\vert$个单位长度得到一次函数$y = kx + b$的图象。例如，正比例函数$y = 2x$，当$b=-3$时，一次函数$y = 2x - 3$的图象是由$y = 2x$的图象向下平移$3$个单位得到的。
当$b = 0$时，一次函数$y = kx + b$就变成了正比例函数$y = kx$，其图象就是过原点的直线。
【答案】：一次函数$y = kx + b(k\neq0)$的图象是一条直线。$b$决定了一次函数图象与$y$轴交点的位置，当$b\gt0$时，一次函数$y = kx + b$的图象是由正比例函数$y = kx$的图象向上平移$b$个单位长度得到的；当$b\lt0$时，一次函数$y = kx + b$的图象是由正比例函数$y = kx$的图象向下平移$\vert b\vert$个单位长度得到的；当$b = 0$时，一次函数$y = kx + b$就变为正比例函数$y = kx$。

(1)用列表、描点、连线的方法画一次函数$y = 2x + 1$的图象.略
(2)一次函数$y = 2x + 1$的图象真的是一条直线吗？真的是一条直线
(3)一次函数$y = 2x + 1$的图象与正比例函数$y = 2x$的图象有什么关系？一次函数$y=2x+1$的图象与正比例函数$y=2x$的图象平行
(4)一般地，一次函数$y = kx + b$的图象与正比例函数$y = kx$的图象有什么关系？一次函数$y=kx+b$的图象与正比例函数$y=kx$的图象平行

答案： 1. （1）
列表：
当$x = 0$时，$y=2×0 + 1=1$；当$x = 1$时，$y=2×1 + 1=3$；当$x=-1$时，$y=2×(-1)+1=-1$。列表如下：
| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y$ | $-1$ | $1$ | $3$ |
描点：在平面直角坐标系中描出$(-1,-1)$，$(0,1)$，$(1,3)$。
连线：用直线连接这三个点，就得到$y = 2x + 1$的图象。
2. （2）
解：设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$是$y = 2x+1$图象上的任意两点，则$y_1 = 2x_1 + 1$，$y_2 = 2x_2 + 1$。
直线$AB$的斜率$k=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}=\frac{(2x_2 + 1)-(2x_1 + 1)}{x_2 - x_1}=\frac{2(x_2 - x_1)}{x_2 - x_1}=2$（$x_1\neq x_2$）。
对于$y = 2x + 1$图象上任意两点，斜率都为$2$，所以一次函数$y = 2x + 1$的图象是一条直线。
3. （3）
解：一次函数$y = 2x + 1$的图象与正比例函数$y = 2x$的图象平行。
因为$y = 2x+1$与$y = 2x$的斜率$k$都为$2$，根据两直线$y_1=k_1x + b_1$，$y_2=k_2x + b_2$（$k_1,k_2,b_1,b_2$为常数），当$k_1 = k_2$，$b_1\neq b_2$时，两直线平行，$y = 2x + 1$中$b = 1$，$y = 2x$中$b = 0$，所以它们的图象平行。
4. （4）
解：一次函数$y = kx + b$（$k\neq0$）的图象与正比例函数$y = kx$（$k\neq0$）的图象平行。
对于直线$y_1=kx + b$（$k\neq0$）和$y_2=kx$（$k\neq0$），根据两直线$y_1=k_1x + b_1$，$y_2=k_2x + b_2$（$k_1,k_2,b_1,b_2$为常数），当$k_1 = k_2$，$b_1\neq b_2$时，两直线平行，这里$k_1 = k_2=k$（$k\neq0$），$b_1 = b$，$b_2 = 0$（$b\neq0$），所以一次函数$y = kx + b$（$k\neq0$）的图象与正比例函数$y = kx$（$k\neq0$）的图象平行。当$b = 0$时，一次函数$y=kx + b$就变成了正比例函数$y = kx$。
综上，（1）按列表、描点、连线画出图象；（2）是直线；（3）平行；（4）平行（当$b\neq0$时），当$b = 0$时，$y=kx + b$就是$y = kx$。

一次函数$y = kx + b$的图象是一条直线，它与正比例函数$y = kx$的图象相互平行.因此，画一次函数图象时，只要确定两个点，再过这两个点画直线就可以了.一次函数$y = kx + b$的图象也称为直线$y = kx + b$.

答案： [概括新知]直 平行 两

(1)函数$y$的值随着$x$值的增大而增大的函数是$y=3x+1$，$y=3x-2$，$y=4x-3$；函数$y$的值随着$x$值的增大而减小的函数是$y=-x+1$
(2)随着$x$值的增大，$y$的值增大速度最快的函数是$y=4x-3$
(3)函数$y=3x+1$与$y=3x-2$的图象相互平行
(4)函数$y=3x+1$，$y=-x+1$的图象与$y$轴相交于同一点
(5)画出这四个函数的图象，验证你的结论.

答案： $(1)$ 判断函数$y$随$x$增大的变化情况
对于一次函数$y = kx + b$（$k$，$b$为常数，$k\neq0$），当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k ＜ 0$时，$y$随$x$的增大而减小。
在$y = 3x + 1$中，$k = 3＞0$，所以$y$随$x$的增大而增大；
在$y=-x + 1$中，$k=-1＜0$，所以$y$随$x$的增大而减小；
在$y = 3x - 2$中，$k = 3＞0$，所以$y$随$x$的增大而增大；
在$y = 4x - 3$中，$k = 4＞0$，所以$y$随$x$的增大而增大。
所以$y = 3x + 1$，$y = 3x - 2$，$y = 4x - 3$中$y$的值随着$x$值的增大而增大；$y=-x + 1$中$y$的值随着$x$值的增大而减小。
$(2)$ 找出$y$值增大速度最快的函数
对于一次函数$y = kx + b$（$k$，$b$为常数，$k\neq0$），$\vert k\vert$越大，$y$随$x$的变化速度越快。
已知$y = 3x + 1$中$k_1 = 3$；$y = 3x - 2$中$k_2 = 3$；$y = 4x - 3$中$k_3 = 4$。
因为$\vert k_3\vert＞\vert k_1\vert=\vert k_2\vert$，所以$y = 4x - 3$中$y$的值增大速度最快。
$(3)$ 找出图象相互平行的函数
对于一次函数$y = kx + b$（$k$，$b$为常数，$k\neq0$），当$k$相等时，两函数图象相互平行。
因为$y = 3x + 1$与$y = 3x - 2$中$k$值都为$3$，所以$y = 3x + 1$与$y = 3x - 2$的图象相互平行。
$(4)$ 找出图象与$y$轴相交于同一点的函数
对于一次函数$y = kx + b$（$k$，$b$为常数，$k\neq0$），当$x = 0$时，$y=b$，$b$为函数图象与$y$轴交点的纵坐标。
在$y = 3x + 1$中，$b_1 = 1$；
在$y=-x + 1$中，$b_2 = 1$。
所以$y = 3x + 1$与$y=-x + 1$的图象与$y$轴相交于同一点$(0,1)$。
$(5)$ 画图验证（略）
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{y = 3x + 1}$，$\boldsymbol{y = 3x - 2}$，$\boldsymbol{y = 4x - 3}$中$\boldsymbol{y}$的值随着$\boldsymbol{x}$值的增大而增大；$\boldsymbol{y=-x + 1}$中$\boldsymbol{y}$的值随着$\boldsymbol{x}$值的增大而减小；$(2)$$\boldsymbol{y = 4x - 3}$；$(3)$$\boldsymbol{y = 3x + 1}$与$\boldsymbol{y = 3x - 2}$；$(4)$$\boldsymbol{y = 3x + 1}$与$\boldsymbol{y=-x + 1}$。