《2025年全品学练考八年级数学上册北师大版深圳专版》

例6 无人快递车在某市的城市道路上正式“上岗”.现有一条笔直的路上依次有$M,P,N$三个快递网点，其中$M,N$两网点相距$1000$米.甲、乙两车分别从$M,N$两网点同时出发，匀速行驶去往目的地$N,M$.图4-T-4中$OA,BC$分别表示甲、乙两车离$M$地的距离$y$(米)与行驶时间$x$(分)的函数图象.
(1)直线$OA$对应的函数表达式为$y = 200x$；
(2)出发后甲快递车行驶多长时间，与乙快递车相遇?
$\frac{10}{3}$分钟
(3)甲快递车到$P$网点后，再经过$1$分钟乙快递车也到$P$网点，求$P,N$两网点间的距离.
400 米

答案：
(1)$y = 200x$
(2)$\frac{10}{3}$分钟
(3)400 米

例7 如图4-T-5，在平面直角坐标系中，直线$AB$与$x$轴、$y$轴分别交于点$A(3,0),B(0,4)$，点$C$在$y$轴的负半轴上，若将$\triangle CAB$沿直线$AC$折叠，点$B$恰好落在$x$轴正半轴上的点$D$处.
(1)$AB$的长为5，点$D$的坐标是$(8, 0)$.
(2)求点$C$的坐标.
(3)$M$是$y$轴上一动点，若$S_{△MAB}=\frac {1}{2}S_{△OCD}$，求出点$M$的坐标.
(4)在第一象限内是否存在点$P$，使$\triangle PAB$为等腰直角三角形?若存在，直接写出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由.

答案： 解:
(1)5 $(8, 0)$
(2)设$OC = x$，则$BC = OB + OC = 4 + x$，由折叠的性质知$CD = BC = 4 + x$。
在$Rt\triangle COD$中，由勾股定理得$OC^2 + OD^2 = CD^2$，
所以$x^2 + 8^2 = (x + 4)^2$，解得$x = 6$，即$OC = 6$，
所以点 C 的坐标为$(0, -6)$。
(3)因为$C(0, -6)$，$D(8, 0)$，
所以$OC = 6$，$OD = 8$，则$S_{\triangle COD} = \frac{1}{2}CO \cdot DO = \frac{1}{2}×6×8 = 24$，则$S_{\triangle MAB} = 12$。
因为 M 是 y 轴上一动点，所以设点 M 的坐标为$(0, m)$，
所以$BM = |m - 4|$，则$S_{\triangle MAB} = \frac{1}{2}BM \cdot OA = \frac{1}{2}|m - 4|×3 = 12$，所以$m = 12$或$-4$，
所以点 M 的坐标为$(0, 12)$或$(0, -4)$。
(4)第一象限内存在点 P，使$\triangle PAB$为等腰直角三角形，点 P 的坐标为$(7, 3)$或$(4, 7)$或$(\frac{7}{2}, \frac{7}{2})$。