《2025年全品学练考八年级数学上册北师大版深圳专版》

变式 计算:(1)$( 2 \sqrt { 6 } + \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } ) \times \sqrt { 3 } - \sqrt { 32 }$;
(2)$( 3 \sqrt { 24 } - 6 \sqrt { \frac { 1 } { 6 } } + \sqrt { 45 } ) \div 2 \sqrt { 3 }$.

答案：
(1)$3 \sqrt { 2 }$
(2)$\frac { 5 } { 2 } \sqrt { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 15 }$

化简$( \sqrt { \frac { 1 } { a } } - \sqrt { b } ) \cdot \sqrt { a b }$，其中$a = 3$,$b = 2$.你是怎么做的?
解：$( \sqrt { \frac { 1 } { a } } - \sqrt { b } ) \cdot \sqrt { a b }$$= \sqrt { \frac { 1 } { a } } \cdot \sqrt { a b } - \sqrt { b } \cdot \sqrt { a b }$$= \sqrt { b } - b \sqrt { a }$，当$a = 3$，$b = 2$时，原式$= \sqrt { 2 } - 2 \sqrt { 3 }$．

答案： 解：$( \sqrt { \frac { 1 } { a } } - \sqrt { b } ) \cdot \sqrt { a b } = \sqrt { \frac { 1 } { a } } \cdot \sqrt { a b } - \sqrt { b } \cdot \sqrt { a b } = \sqrt { b } - b \sqrt { a }$，当$a = 3$，$b = 2$时，原式$= \sqrt { 2 } - 2 \sqrt { 3 }$．

例2 先化简,再求值:$( \sqrt { \frac { 1 } { a } } - \sqrt { a } ) \cdot \sqrt { a b }$,其中$a = 3$,$b = 2$.
解：原式$= \sqrt { \frac { 1 } { a } } \cdot \sqrt { a b } - \sqrt { a } \cdot \sqrt { a b } =$$\sqrt{b}-a\sqrt{b}$$=$$(1-a)\sqrt{b}$．
当$a = 3$，$b = 2$时，原式$=$$-2\sqrt{2}$．

答案： 解：原式$= \sqrt { \frac { 1 } { a } } \cdot \sqrt { a b } - \sqrt { a } \cdot \sqrt { a b } = \sqrt { b } - a \sqrt { b } = ( 1 - a ) \sqrt { b }$．
当$a = 3$，$b = 2$时，原式$= ( 1 - 3 ) \times \sqrt { 2 } = - 2 \sqrt { 2 }$．

例3(教材典题)如图2-3-1,小正方形的边长为1.
(1)求梯形$ABCD$的周长.$6 + 6 \sqrt { 2 } + 2 \sqrt { 5 }$
(2)求梯形$ABCD$的面积.18你有哪些求解方法?与同伴进行交流.

答案： 解：
(1)由题意得$A D = 6$，$C D = \sqrt { 1 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } = \sqrt { 2 }$，$B C = \sqrt { 4 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } } = 2 \sqrt { 5 }$，$A B = \sqrt { 5 ^ { 2 } + 5 ^ { 2 } } = 5 \sqrt { 2 }$，所以梯形$A B C D$的周长为$6 + \sqrt { 2 } + 2 \sqrt { 5 } + 5 \sqrt { 2 } = 6 + 6 \sqrt { 2 } + 2 \sqrt { 5 }$．
(2)梯形$A B C D$的面积为18．方法有：补图法和割图法等，补图法(不唯一)，就是补成一个长方形，用长方形的面积减去三个直角三角形的面积；割图法(不唯一)，就是图形分割成一个正方形和三个三角形，分别计算它们的面积并相加．