《2025年全品学练考八年级数学上册北师大版深圳专版》

如图1-JY-1,一个圆柱的高为12 cm,底面圆的周长为18 cm.在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物,那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?


理解问题
(1)在这个问题中,已知条件有哪些?你认为已知条件足够解决这个问题吗?

已知条件：圆柱的高为12cm，底面圆的周长为18cm，A在圆柱下底面，B在上底面且与A相对。已知条件足够解决这个问题。
(2)沿侧面爬行的可能路线有哪些?什么情况下路线最短?请你用圆柱形水杯等物品实际感受一下.
沿侧面爬行的可能路线有无数条（曲线）。将圆柱侧面展开成平面图形（长方形），连接A、B两点的线段最短。
拟订计划
(1)以前研究过最短路线问题吗?这个问题与以前研究的最短路线问题有什么不同?
以前研究过最短路线问题（如两点之间线段最短）。这个问题是在圆柱侧面（曲面）上找最短路线，以前研究的最短路线问题大多是在平面上。
(2)如何将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题?各个点的位置如何确定?
将圆柱侧面剪开，展开成平面图形（长方形），把曲面上的最短路线问题转化为平面上两点之间线段最短的问题。A点在长方形的一个顶点，B点的位置根据A点相对位置确定（A、B两点间的水平距离为底面圆周长的一半，竖直距离为圆柱的高）。
实施计划
(1)如图1-JY-2,将圆柱侧面剪开,确定展开图的形状,以及与圆柱的对应关系;
将圆柱侧面剪开，展开图是一个长方形。长方形的长等于底面圆的周长18cm，长方形的宽等于圆柱的高12cm。
(2)在图中标出点B的位置;
因为B点与A点相对，所以在展开图中，A、B两点间的水平距离为底面圆周长的一半，即18÷2=9cm，竖直距离为圆柱的高12cm。
(3)在图中确定A,B两点之间最短的路线,并计算它的长度.
根据勾股定理a²+b²=c²（其中a、b 为直角边，c为斜边），在由A、B两点间的水平距离、竖直距离和最短路线构成的直角三角形中，a=9cm，b=12cm，设最短路线长度为c。则c=√(9²+12²)=√(81+144)=√225=15cm。综上，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是15cm。

回顾反思
(1)在拟订解决问题的方案和实施方案的过程中,你获得了哪些经验?与同伴进行交流;
经验：遇到曲面最短路线问题，可尝试将曲面展开成平面图形，利用平面几何知识（如勾股定理、两点之间线段最短）求解；要明确展开图与原几何体的对应关系。
(2)这个问题中,影响结果的量有哪些?如果改变有关的量,你还能求解吗?例如,改变圆柱的形状,改变A,B两点的位置,改为沿着圆柱表面爬行……这时又会有哪些新的问题?选择部分问题进行研究,并与同伴进行交流;
影响结果的量：圆柱的高、底面圆的周长（或半径）、A、B两点的相对位置。改变有关的量能求解。例如改变圆柱形状（即改变高和底面周长），同样将侧面展开，用勾股定理计算；改变A、B两点位置，确定在展开图中的相对位置后用勾股定理计算；沿圆柱表面爬行，可能需要分情况讨论（经过侧面、经过侧面和上底面等）。
(3)解决这个问题的经验,还可以运用到哪些问题中?例如,能否解决正方体、长方体等几何体表面两点之间的最短路线问题?
可以运用到正方体、长方体等几何体表面两点之间的最短路线问题。对于正方体、长方体，将其表面展开成平面图形（不同的展开方式），然后根据勾股定理计算最短路线。
(4)生活中还有哪些现实问题涉及几何体表面上的最短路线?举几个实例,并思考解决问题的方案;
实例：①快递包裹打包时，绳子最短缠绕方式（涉及长方体表面最短路线）；②圆柱形通风管接口处密封胶带最短长度（涉及圆柱侧面最短路线）。解决问题方案：对于长方体，展开表面；对于圆柱，展开侧面，利用平面几何知识求解。
(5)对于解决问题之后的回顾反思,你有哪些体会?与同伴进行交流.
体会：回顾反思能加深对问题的理解，发现问题的本质和规律；可以拓展思维，想到问题的变式和应用；能总结解题方法和经验，以便解决类似问题。

答案： 实施计划
- **步骤一：分析圆柱侧面展开图
将圆柱侧面剪开，展开图是一个长方形。长方形的长等于底面圆的周长$18cm$，长方形的宽等于圆柱的高$12cm$。
- **步骤二：确定$A$、$B$两点在展开图中的位置
因为$B$点与$A$点相对，所以在展开图中，$A$、$B$两点间的水平距离为底面圆周长的一半，即$\frac{18}{2}=9cm$，竖直距离为圆柱的高$12cm$。
- **步骤三：计算$A$、$B$两点之间最短路线的长度
根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$a$、$b$ 为直角边，$c$为斜边），在由$A$、$B$两点间的水平距离、竖直距离和最短路线构成的直角三角形中，$a = 9cm$，$b = 12cm$，设最短路线长度为$c$。
则$c=\sqrt{9^{2}+12^{2}}=\sqrt{81 + 144}=\sqrt{225}=15cm$。
综上，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是$15cm$。
理解问题
- **
(1)
已知条件：圆柱的高为$12cm$，底面圆的周长为$18cm$，$A$在圆柱下底面，$B$在上底面且与$A$相对。已知条件足够解决这个问题。
(2)
沿侧面爬行的可能路线有无数条（曲线）。将圆柱侧面展开成平面图形（长方形），连接$A$、$B$两点的线段最短（两点之间线段最短）。
拟订计划
(1)
以前研究过最短路线问题（如两点之间线段最短）。这个问题是在圆柱侧面（曲面）上找最短路线，以前研究的最短路线问题大多是在平面上。
(2)
将圆柱侧面剪开，展开成平面图形（长方形），把曲面上的最短路线问题转化为平面上两点之间线段最短的问题。$A$点在长方形的一个顶点，$B$点的位置根据$A$点相对位置确定（$A$、$B$两点间的水平距离为底面圆周长的一半，竖直距离为圆柱的高）。
回顾反思
(1)
经验：遇到曲面最短路线问题，可尝试将曲面展开成平面图形，利用平面几何知识（如勾股定理、两点之间线段最短）求解；要明确展开图与原几何体的对应关系。
(2)
影响结果的量：圆柱的高、底面圆的周长（或半径）、$A$、$B$两点的相对位置。改变有关的量能求解。例如改变圆柱形状（即改变高和底面周长），同样将侧面展开，用勾股定理计算；改变$A$、$B$两点位置，确定在展开图中的相对位置后用勾股定理计算；沿圆柱表面爬行，可能需要分情况讨论（经过侧面、经过侧面和上底面等）。
(3)
可以运用到正方体、长方体等几何体表面两点之间的最短路线问题。对于正方体、长方体，将其表面展开成平面图形（不同的展开方式），然后根据勾股定理计算最短路线。
(4)
实例：①快递包裹打包时，绳子最短缠绕方式（涉及长方体表面最短路线）；②圆柱形通风管接口处密封胶带最短长度（涉及圆柱侧面最短路线）。解决问题方案：对于长方体，展开表面；对于圆柱，展开侧面，利用平面几何知识求解。
(5)
体会：回顾反思能加深对问题的理解，发现问题的本质和规律；可以拓展思维，想到问题的变式和应用；能总结解题方法和经验，以便解决类似问题。