《2025年全品学练考八年级数学上册北师大版深圳专版》

今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上中下禾实一秉各几何？(选自《九章算术》)
题目大意：有上禾3束，中禾2束，下禾1束，可得米39斗；上禾2束，中禾3束，下禾1束，可得米34斗；上禾1束，中禾2束，下禾3束，可得米26斗。上、中、下禾每束各可得米多少斗？
在这个问题中，设每束上禾可得米x斗，每束中禾可得米y斗，每束下禾可得米z斗，根据题意可得方程组：$\begin{cases}3x + 2y + z = 39,\\2x + 3y + z = 34,\\x + 2y + 3z = 26.\end{cases}$这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？
区别：二元一次方程组含有两个未知数，此方程组含有三个未知数；二元一次方程组形式相对简单，此方程组因未知数增多更复杂；二元一次方程组的解是一对有序数对，此方程组的解是一组有序的三个数。联系：都属于一次方程组，未知数最高次数都是1；求解基本思路都是消元，将其转化为一元一次方程求解；都可用于解决实际生活中的数量关系问题。

答案： 【解析】：
### 区别
**未知数个数**：前面学过的二元一次方程组含有两个未知数，而此方程组含有三个未知数$x$、$y$、$z$。
**方程复杂程度**：二元一次方程组中的方程是二元一次方程，形式相对简单；此方程组中的方程虽然都是一次方程，但由于未知数个数增多，方程所涉及的项数和关系更复杂，在求解时需要考虑更多的变量之间的关系。
**解的情况**：二元一次方程组的解一般是一对有序数对$(x,y)$，代表平面直角坐标系中的一个点；而这个三元一次方程组的解是一组有序的三个数$(x,y,z)$，代表空间直角坐标系中的一个点，解的表示和理解更加抽象。
### 联系
**方程类型**：它们都属于一次方程组，方程中未知数的最高次数都是$1$，这意味着它们在本质上都是线性方程，都遵循一次方程的基本运算规则，如等式两边同时加、减、乘、除同一个非零数，等式仍然成立。
**求解方法思路**：求解的基本思路都是通过消元将方程组化简。对于二元一次方程组，是将其消元转化为一元一次方程来求解；对于这个三元一次方程组，同样是通过消元的方法，逐步减少未知数的个数，先将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再进一步转化为一元一次方程来求解。
**实际应用背景**：它们都可以用来解决实际生活中的数量关系问题，通过设未知数，根据题目中的等量关系列出方程组，进而求解得到实际问题的答案。
【答案】：区别：二元一次方程组含有两个未知数，此方程组含有三个未知数；二元一次方程组形式相对简单，此方程组因未知数增多更复杂；二元一次方程组的解是一对有序数对，此方程组的解是一组有序的三个数。联系：都属于一次方程组，未知数最高次数都是$1$；求解基本思路都是消元，将其转化为一元一次方程求解；都可用于解决实际生活中的数量关系问题。

(1)三元一次方程：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作三元一次方程。
(2)三元一次方程组：共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫作三元一次方程组。
(3)三元一次方程组的解：三元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个三元一次方程组的解。

答案：
(1)1
(2)三
(3)公共

例1(教材典题)解方程组：$\begin{cases}3x + 2y + z = 39,\\2x + 3y + z = 34,\\x + 2y + 3z = 26.\end{cases}$
解：方程组的解为$\begin{cases}x=\frac{37}{4},\\y=\frac{17}{4},\\z=\frac{11}{4}\end{cases}$

答案： $\begin{cases}x=\frac{37}{4},\\y=\frac{17}{4},\\z=\frac{11}{4}\end{cases}$

提要点
三元一次方程组必备的三个条件
(1)一共含有三个未知数；(2)含未知数的项的次数都是1；(3)每个方程都是整式方程。
明思路
解三元一次方程组的基本思路：
解三元一次方程组的基本思路是消元，把“三元”化为“二元”，再化为“一元”。

答案： 消元

例2解方程组：$\begin{cases}2x + 3y - z = 11,\\2x + y - 5z = 8,\\-2x + 7y + z = 19.\end{cases}$
解：$\begin{cases}x=\frac{5}{8},\\y = 3,\\z=-\frac{3}{4}\end{cases}$

答案： $\begin{cases}x=\frac{5}{8},\\y = 3,\\z=-\frac{3}{4}\end{cases}$