《2025年全品学练考八年级数学上册北师大版深圳专版》

在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方. 反过来，如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？

答案： 【解析】：设这个三角形的三条边分别为$a$、$b$、$c$（$c$为最长边），已知$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。我们可以构造一个直角三角形，使其两条直角边分别为$a$和$b$，根据勾股定理，这个直角三角形的斜边的平方为$a^{2}+b^{2}$，也就是$c^{2}$，那么其斜边长度为$c$。根据全等三角形的判定定理（边边边定理，即三边对应相等的两个三角形全等），可以知道以$a$、$b$、$c$为边的三角形与构造的直角三角形全等。因为构造的三角形是直角三角形，所以以$a$、$b$、$c$为边的三角形也是直角三角形。所以如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
【答案】：是

下面的每组数分别是一个三角形的三边长 $ a $，$ b $，$ c $，而且都满足 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = c ^ { 2 } $：
$ 3 $，$ 4 $，$ 5 $；$ 5 $，$ 12 $，$ 13 $；$ 8 $，$ 15 $，$ 17 $；$ 7 $，$ 24 $，$ 25 $.
分别以每组数为三边长画出三角形，它们都是直角三角形吗？你是怎么想的？与同伴进行交流.

答案： 【解析】：根据勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边长$a$，$b$，$c$满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，那么这个三角形是直角三角形。已知每组数都满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，所以以每组数为三边长画出的三角形都是直角三角形。
【答案】：它们都是直角三角形，因为每组数都满足勾股定理的逆定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，所以对应的三角形是直角三角形。

（1）直角三角形的判定：如果三角形的三边长 $ a $，$ b $，$ c $ 满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，那么这个三角形是直角三角形.
注：当三边满足 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = c ^ { 2 } $ 时，最长边 $ c $ 所对的角为直角.

答案： 【解析】：根据勾股定理的逆定理，若一个三角形的三边长$a$，$b$，$c$满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，那么这个三角形就是直角三角形，所以此处应填$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
【答案】：$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

（2）勾股数：满足 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = c ^ { 2 } $ 的三个正整数，称为勾股数.

答案： 【解析】：根据勾股数的定义，满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$的三个正整数，称为勾股数。所以此处应填正整。
【答案】：正整

例 1 下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由.
① $ 12 $，$ 16 $，$ 20 $；② $ 1.5 $，$ 2 $，$ 2.5 $；③ $ \frac { 1 } { 3 } $，$ \frac { 1 } { 4 } $，$ \frac { 1 } { 5 } $；④ $ 3 ^ { 2 } $，$ 4 ^ { 2 } $，$ 5 ^ { 2 } $.

答案： 例1 ①②能,③④不能 理由略