《2025年全品学练考八年级数学上册北师大版深圳专版》

上一节课，我们通过测量和数格子的方法发现了勾股定理.在图1-1-15中，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗？
设直角三角形的三条边分别为$a$、$b$、$c$（$c$为斜边）。以$a$为边长的正方形面积$S_{a}=a^{2}$，以$b$为边长的正方形面积$S_{b}=b^{2}$，以$c$为边长的正方形面积$S_{c}=c^{2}$。通过拼图可知，以$a$、$b$为边长的两个正方形的面积之和等于以$c$为边长的正方形的面积，即$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。

答案： 【解析】：设直角三角形的三条边分别为$a$、$b$、$c$（$c$为斜边）。
以$a$为边长的正方形面积$S_{a}=a^{2}$，以$b$为边长的正方形面积$S_{b}=b^{2}$，以$c$为边长的正方形面积$S_{c}=c^{2}$。
我们可以通过拼图的方法来理解。把以$a$、$b$为边的两个正方形进行分割、拼接（具体拼接过程可想象将两个小正方形的部分图形组合到以$c$为边的正方形区域内），会发现以$a$、$b$为边长的两个正方形的面积之和等于以$c$为边长的正方形的面积。
即$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，这就说明了勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）的正确性。
【答案】：$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

为了计算图1-1-15中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，分别得到图1-1-16①②.
(1)将所有三角形和正方形的面积用含a，b，c的式子表示出来；
题图①中正方形的面积分别是 $a^{2},b^{2},c^{2}$，$(a + b)^{2}$，三角形的面积都是 $\frac{1}{2}ab$；题图②中正方形的面积分别是 $a^{2},b^{2},c^{2},(b - a)^{2}$，三角形的面积都是 $\frac{1}{2}ab$
(2)图①、图②中正方形ABCD的面积分别是多少？你有哪些表示方式？
题图①中正方形 $ABCD$ 的面积可表示为 $(a + b)^{2}$ 或 $c^{2}+4×\frac{1}{2}ab$；题图②中正方形 $ABCD$ 的面积可表示为 $(b - a)^{2}$ 或 $c^{2}-4×\frac{1}{2}ab$
(3)你能分别利用图①、图②验证勾股定理吗？
能.在题图①中,由正方形 $ABCD$ 的面积可得 $(a + b)^{2}=c^{2}+4×\frac{1}{2}ab$，整理，得 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$；在题图②中，由正方形 $ABCD$ 的面积可得 $(b - a)^{2}=c^{2}-4×\frac{1}{2}ab$，整理，得 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

答案： 解:
(1)题图①中正方形的面积分别是 $a^{2},b^{2},c^{2}$，$(a + b)^{2}$，三角形的面积都是 $\frac{1}{2}ab$；题图②中正方形的面积分别是 $a^{2},b^{2},c^{2},(b - a)^{2}$，三角形的面积都是 $\frac{1}{2}ab$。
(2)题图①中正方形 $ABCD$ 的面积可表示为 $(a + b)^{2}$ 或 $c^{2}+4\times\frac{1}{2}ab$；题图②中正方形 $ABCD$ 的面积可表示为 $(b - a)^{2}$ 或 $c^{2}-4\times\frac{1}{2}ab$。
(3)能.在题图①中,由正方形 $ABCD$ 的面积可得 $(a + b)^{2}=c^{2}+4\times\frac{1}{2}ab$，整理，得 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$；在题图②中，由正方形 $ABCD$ 的面积可得 $(b - a)^{2}=c^{2}-4\times\frac{1}{2}ab$，整理，得 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$。

例1 (1)图1-1-17①②都是由边长均为1的小正方形组成的，把图①按图中的分割方法分割成5部分后可拼接成一个大正方形(内部的粗实线表示分割线)，请你在图②中画出拼接成的大正方形；
(2)如果(1)中分割成的直角三角形两直角边长分别为a，b(b＞a)，斜边长为c.请你利用图②中拼成的大正方形验证勾股定理.

(1) （答案不唯一，只要画出边长为3的大正方形即可）
(2) 大正方形面积S = c²（边长为c），又S = 4×1/2ab+(b - a)²=a²+b²，所以a²+b²=c²，勾股定理得证。

答案： 【解析】：
(1) 图①中，小正方形边长为$1$，一共有$9$个小正方形，面积为$9$，拼成的大正方形面积也为$9$，则大正方形边长为$3$。根据图①的分割部分，在图②中进行拼接（拼接方法不唯一，只要符合边长为$3$的大正方形即可）。
(2) 大正方形边长为$3$，面积$S = 3×3=9$。
大正方形也可以表示为$S = 4\times\frac{1}{2}ab+(b - a)^{2}$，展开$4\times\frac{1}{2}ab+(b - a)^{2}=2ab+b^{2}-2ab + a^{2}=a^{2}+b^{2}$。
因为大正方形面积不变，所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（大正方形边长为$c$，面积也为$c^{2}$），从而验证了勾股定理。
【答案】：
(1) （答案不唯一，只要画出边长为$3$的大正方形即可）
(2) 大正方形面积$S = c^{2}$（边长为$c$），又$S = 4\times\frac{1}{2}ab+(b - a)^{2}=a^{2}+b^{2}$，所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，勾股定理得证。