《2025年全品学练考八年级数学上册北师大版深圳专版》

对于一次函数$y = kx + b$的图象，你有哪些结论？

答案： 【解析】：一次函数$y = kx + b$（$k$，$b$为常数，$k≠0$）的图象有以下重要结论：
### 图象形状
一次函数$y = kx + b$的图象是一条直线。这是因为当$x$每增加一个固定的值$\Delta x$时，$y$的变化量$\Delta y=k\Delta x$是固定的，满足直线的特征。
### 与坐标轴的交点
**与$y$轴的交点**：当$x = 0$时，$y=b$，所以直线$y = kx + b$与$y$轴交于点$(0,b)$，其中$b$叫做直线$y = kx + b$在$y$轴上的截距。
**与$x$轴的交点**：当$y = 0$时，$kx + b = 0$，解得$x=-\frac{b}{k}(k\neq0)$，所以直线$y = kx + b$与$x$轴交于点$(-\frac{b}{k},0)$。
### 增减性
当$k\gt0$时，$y$随$x$的增大而增大，此时函数图象从左到右呈上升趋势。例如，对于函数$y = 2x + 1$，$k = 2\gt0$，当$x_1\lt x_2$时，$y_1=2x_1 + 1$，$y_2=2x_2 + 1$，则$y_2 - y_1=2(x_2 - x_1)\gt0$，即$y_2\gt y_1$。
当$k\lt0$时，$y$随$x$的增大而减小，此时函数图象从左到右呈下降趋势。比如$y=-3x + 2$，$k=-3\lt0$，当$x_1\lt x_2$时，$y_1=-3x_1 + 2$，$y_2=-3x_2 + 2$，$y_2 - y_1=-3(x_2 - x_1)\lt0$，即$y_2\lt y_1$。
### 图象位置与$k$、$b$的关系
当$k\gt0$，$b\gt0$时，直线经过一、二、三象限；
当$k\gt0$，$b\lt0$时，直线经过一、三、四象限；
当$k\lt0$，$b\gt0$时，直线经过一、二、四象限；
当$k\lt0$，$b\lt0$时，直线经过二、三、四象限。
### 平行关系
两条直线$y_1 = k_1x + b_1$和$y_2 = k_2x + b_2$，若$k_1 = k_2$且$b_1\neq b_2$，则两直线平行。例如$y = 2x + 3$与$y = 2x - 1$，因为$k$值都为$2$，$b$值分别为$3$和$-1$，所以这两条直线平行。
【答案】：1. 图象是一条直线；2. 与$y$轴交于点$(0,b)$，与$x$轴交于点$(-\frac{b}{k},0)(k\neq0)$；3. 当$k\gt0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k\lt0$时，$y$随$x$的增大而减小；4. 当$k\gt0$，$b\gt0$时，直线经过一、二、三象限；当$k\gt0$，$b\lt0$时，直线经过一、三、四象限；当$k\lt0$，$b\gt0$时，直线经过一、二、四象限；当$k\lt0$，$b\lt0$时，直线经过二、三、四象限；5. 两条直线$y_1 = k_1x + b_1$和$y_2 = k_2x + b_2$，若$k_1 = k_2$且$b_1\neq b_2$，则两直线平行。

一次函数图象的性质：
(1)一次函数$y = kx + b$的图象经过点$(0,$b$)$，与函数$y = kx$的图象平行.
(2)在一次函数$y = kx + b$中，当$k ＞ 0$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大；当$k ＜ 0$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小.
注：$k$值相同($b$值不同)的两个一次函数图象平行，如直线$y = 2x$与直线$y = 2x + 3$，$y = 2x - 1$平行.将直线$y = 2x$沿$y$轴向上平移3个单位可得到直线$y = 2x + 3$；将直线$y = 2x$沿$y$轴向下平移1个单位可得到直线$y = 2x - 1$.

答案： [概括新知]
(1)$b$ 平行
(2)增大 减小

例1 (1)函数$y = 3x - 10$的图象不经过第二象限；
(2)一次函数$y = kx + b$的图象如图4-3-4所示，则$b$的值为2，$k$的值为1；
(3)将直线$y = -2x - 1$向上平移2个单位，平移后的直线所对应的函数表达式为$y=-2x+1$；
(4)已知点$(-2,y_1)$，$(2,y_2)$都在直线$y = 2x + b$上，则$y_1$＜$y_2$(填“$＜$”“$＞$”或“$=$”).

答案： 例1
(1)二
(2)2 1
(3)$y=-2x+1$
(4)$＜$

例2 请根据下列的一次函数表达式的特征按要求分类(填写序号).
①$y = 3x$；②$y = x - 4$；③$y = -5x - 4$；④$y = 3x + 6$；⑤$y = -5x + 1$.
(1)一次函数中，函数值$y$随$x$的增大而增大的有①②④；
(2)一次函数中，图象经过$y$轴上同一点的有②③；
(3)一次函数中，图象经过$y$轴负半轴的有②③，图象过原点的有①，图象经过$y$轴正半轴的有④⑤；
(4)一次函数中，图象平行的有③与⑤，①与④.

答案： 例2
(1)①②④
(2)②③
(3)②③ ① ④⑤
(4)③与⑤，①与④