《2025年初中数学课堂导学案八年级下册人教版》

4. 计算：
(1)$\sqrt{5} × \sqrt{7}$；
(2)$\sqrt{\frac{1}{3}} × \sqrt{12}$。

答案：
(1)$\sqrt{35}$
(2)2
解析：
(1)$\sqrt{5}×\sqrt{7}=\sqrt{5×7}=\sqrt{35}$。
(2)$\sqrt{\frac{1}{3}}×\sqrt{12}=\sqrt{\frac{1}{3}×12}=\sqrt{4}=2$。

5. 计算：
(1)$2\sqrt{3} × 3\sqrt{2}$；
(2)$2\sqrt{12} × (-\sqrt{3})$。

答案：
(1)$6\sqrt{6}$
(2)-12
解析：
(1)$2\sqrt{3}×3\sqrt{2}=(2×3)×\sqrt{3×2}=6\sqrt{6}$。
(2)$2\sqrt{12}×(-\sqrt{3})=2×2\sqrt{3}×(-\sqrt{3})=4×(-3)=-12$（$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$）。

6. 计算：
(1)$\sqrt{a} \cdot \sqrt{a^3}$；
(2)$\sqrt{x^3} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}$。

答案：
(1)$a^2$
(2)$x$
解析：
(1)$\sqrt{a} \cdot \sqrt{a^3}=\sqrt{a \cdot a^3}=\sqrt{a^4}=a^2(a\geq0)$。
(2)$\sqrt{x^3} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}=\sqrt{x^3 \cdot \frac{1}{x}}=\sqrt{x^2}=x(x＞0)$。

7. 计算：
(1)$(\sqrt{2}+\sqrt{7})(\sqrt{2}-\sqrt{7})$；
(2)$(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2$。

答案：
(1)-5
(2)$5 + 2\sqrt{6}$
解析：
(1)原式$=(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{7})^2=2 - 7=-5$（平方差公式）。
(2)原式$=(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2=2 + 2\sqrt{6} + 3=5 + 2\sqrt{6}$（完全平方公式）。

8. 计算：$\sqrt{1\frac{1}{5}} × 2\sqrt{3} × (-\frac{1}{2}\sqrt{10})$

答案： -6
解析：原式$=\sqrt{\frac{6}{5}}×2\sqrt{3}×(-\frac{1}{2}\sqrt{10})=(\frac{\sqrt{30}}{5})×2\sqrt{3}×(-\frac{1}{2}\sqrt{10})$
$=(\frac{1}{5}×2×(-\frac{1}{2}))×\sqrt{30×3×10}=-\frac{1}{5}×\sqrt{900}=-\frac{1}{5}×30=-6$。

9. 计算：
(1)$\sqrt{3} × \sqrt{5}$；
(2)$\sqrt{\frac{1}{3}} × \sqrt{27}$。

答案：
(1)$\sqrt{15}$
(2)3
解析：
(1)$\sqrt{3}×\sqrt{5}=\sqrt{3×5}=\sqrt{15}$。
(2)$\sqrt{\frac{1}{3}}×\sqrt{27}=\sqrt{\frac{1}{3}×27}=\sqrt{9}=3$。

10. 计算：
(1)$2\sqrt{3} × 3\sqrt{12}$；
(2)$\sqrt{\frac{2}{3}} × 3\sqrt{6}$。

答案：
(1)36
(2)6
解析：
(1)$2\sqrt{3}×3\sqrt{12}=6×\sqrt{3×12}=6×\sqrt{36}=6×6=36$（$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$）。
(2)$\sqrt{\frac{2}{3}}×3\sqrt{6}=3×\sqrt{\frac{2}{3}×6}=3×\sqrt{4}=3×2=6$。

11. 计算：
(1)$\sqrt{\frac{2}{3}} × \sqrt{\frac{27}{6}}$；
(2)$\sqrt{\frac{2a}{7}} × (-\sqrt{14a})$。

答案：
(1)$\sqrt{3}$
(2)$-2a$
解析：
(1)$\sqrt{\frac{2}{3}}×\sqrt{\frac{27}{6}}=\sqrt{\frac{2}{3}×\frac{27}{6}}=\sqrt{3}$。
(2)$\sqrt{\frac{2a}{7}}×(-\sqrt{14a})=-\sqrt{\frac{2a}{7}×14a}=-\sqrt{4a^2}=-2a(a\geq0)$。

12. 计算：$(2+\sqrt{3})^{2020} \cdot (2-\sqrt{3})^{2022}$

答案： $7 - 4\sqrt{3}$
解析：原式$=[(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})]^{2020} \cdot (2-\sqrt{3})^2$
$=(4 - 3)^{2020} \cdot (4 - 4\sqrt{3} + 3)=1^{2020}×(7 - 4\sqrt{3})=7 - 4\sqrt{3}$。

13. 计算：$\sqrt{ab} \cdot 2\sqrt{\frac{b}{a}} \cdot (-\sqrt{\frac{a}{b}}) \cdot (-\sqrt{\frac{1}{ab}})$

答案： $\frac{2\sqrt{a}}{a}$
解析：原式$=2×(-1)×(-1)×\sqrt{ab \cdot \frac{b}{a} \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{ab}}=2\sqrt{\frac{1}{a}}=\frac{2\sqrt{a}}{a}(a＞0,b＞0)$。