《2025年初中数学课堂导学案八年级下册人教版》

2. (2024年广州市越秀区期末)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，AE//BC，CE//AD.
(1)判断四边形ADCE的形状，并说明理由；
(2)若AB=8，AC=6，求四边形ADCE的面积.

答案：
(1)四边形ADCE是菱形，理由如下：
∵AE//BC，CE//AD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，
∴AD=1/2BC=CD，
∴平行四边形ADCE是菱形；
(2)在Rt△ABC中，AB=8，AC=6，
∴BC=√(AB²+AC²)=√(8²+6²)=10，
∴AD=1/2BC=5，
∵四边形ADCE是菱形，AC=6，BD=12（由
(2)中AC=16，BD=12修正为菱形对角线乘积的一半，AC=6，DE=8（D(4,3),E(-4,3)距离）），
∴面积=1/2×AC×DE=1/2×6×8=24.

3. (2024年广州市花都区期末)如图，在△ABC中，AC=BC，点E、F分别是AC、BC的中点，
(1)尺规作图：作∠C的平分线交AB于点D，连接DE、DF（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证：四边形CDEF是菱形.

答案：
(1)作图略；
(2)证明：
∵AC=BC，CD平分∠C，
∴CD⊥AB，AD=BD（等腰三角形三线合一），
∵点E、F分别是AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，DF是△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=1/2BC，DF//AC，DF=1/2AC，
∵AC=BC，
∴DE=DF，
∴四边形CDEF是平行四边形，
又
∵DE=1/2BC，CE=1/2AC=1/2BC，
∴DE=CE，
∴平行四边形CDEF是菱形.

4. (2023年广州市荔湾区期末)如图，在□ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点F、E，点O为垂足，连接AE、FC. 求证：四边形AECF是菱形.

答案： 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠FAC=∠ECA，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA=OC，EF⊥AC，
在△AOF和△COE中，
∠FAO=∠ECO，OA=OC，∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE(ASA)，
∴AF=CE，
∵AF//CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形.

5. (2022年广州市增城区期末)如图，AE//BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C.
(1)作∠ABF的平分线交AE于点D（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
(2)根据(1)中作图，连接CD，求证：四边形ABCD是菱形.

答案：
(1)作图略；
(2)证明：
∵AE//BF，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABF，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
同理，AC平分∠BAE，∠BAC=∠CAD，
∵AE//BF，∠CAD=∠ACB，
∴∠BAC=∠ACB，
∴AB=BC，
∴AD=BC，
∵AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形.