《2025年初中数学课堂导学案八年级下册人教版》

3. 下列各命题的逆命题不成立的是( ).
A. 两直线平行，同旁内角互补
B. 若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等
C. 同位角相等，两直线平行
D. 如果$a = b$，那么$a^2 = b^2$

答案： D
解析：A逆命题“同旁内角互补，两直线平行”成立；B逆命题“若两个数相等，则绝对值相等”成立；C逆命题“两直线平行，同位角相等”成立；D逆命题“如果$a^2 = b^2$，那么$a = b$”不成立（如$a=-b$时$a^2 = b^2$但$a\neq b$）。

4. 如图，$OA = 6$，$OB = 8$，$AB = 10$，点$A$在点$O$的北偏西$40^\circ$方向，问点$B$在点$O$的什么方向？

答案： 北偏东$50^\circ$方向
解析：$OA^2+OB^2=6^2 + 8^2=100=AB^2$，$\triangle OAB$为直角三角形，$\angle AOB=90^\circ$。点$A$北偏西$40^\circ$，则$OA$与正北夹角$40^\circ$，$OB$与正北夹角$90^\circ - 40^\circ=50^\circ$，故点$B$在点$O$北偏东$50^\circ$方向。

5. 如图，在$\triangle ABC$中，$AC = 30$，$BC = 40$，$AB = 50$，$CD \perp AB$于$D$，求$CD$的长.

答案： 24
解析：$AC^2+BC^2=30^2 + 40^2=2500=50^2=AB^2$，$\triangle ABC$为直角三角形。$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$，$CD=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{30×40}{50}=24$。

6. 下列各命题的逆命题不成立的是( ).
A. 两直线平行，内错角相等
B. 若$a = b$，则$|a| = |b|$
C. 内错角相等，两直线平行
D. 如果$a^2 = b^2$，那么$|a| = |b|$

答案： B
解析：B逆命题“若$|a| = |b|$，则$a = b$”不成立（如$a=-b$时$|a| = |b|$但$a\neq b$）。

7. “远航”号、“海天”号两艘轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？说明理由.

答案： 西北方向或东南方向
解析：“远航”号路程：$16×1.5=24$海里，“海天”号路程：$12×1.5=18$海里。$24^2+18^2=900=30^2$，两船航线垂直。“远航”号东北方向（北偏东$45^\circ$），故“海天”号沿西北方向（北偏西$45^\circ$）或东南方向（南偏东$45^\circ$）。

8. 在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发，现有$C$处需要爆破，点$C$与公路上的停靠站$A$的距离为300米，与公路上的另一停靠站$B$的距离为400米，且$CA \perp CB$，如图，为安全起见，爆破点$C$周围半径250米范围内不得进入，问在爆破时，公路$AB$段是否有危险，是否需要暂时封闭？

答案： 有危险，需要封闭
解析：$AB=\sqrt{300^2 + 400^2}=500$米，$C$到$AB$距离$d=\frac{300×400}{500}=240$米。$240＜250$，公路$AB$段有危险，需封闭。