《2025年初中数学课堂导学案八年级下册人教版》

4. 如图，在矩形ABCD中，AF=CE，求证：四边形AECF是平行四边形.

答案： 证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AD=BC。
∵AF=CE，
∴AD-AF=BC-CE，即DF=BE。
∵AD//BC，
∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。

5. 如图，四边形ABCD为矩形，∠ABD=60°，AC=2.求AB、AD的长及矩形ABCD的面积.

答案： AB=1，AD=√3，面积=√3
解析：矩形对角线AC=BD=2，O为中点，AO=BO=1。
∵∠ABD=60°，
∴△AOB是等边三角形，AB=AO=1。在Rt△ABD中，AD=√(BD²-AB²)=√(2²-1²)=√3。面积=AB×AD=1×√3=√3。

6. 如图，在△ABC中，BC=5 cm，AC=12 cm，AB=13 cm，D为AB的中点，求CD的长.

答案： 6.5 cm
解析：
∵BC²+AC²=5²+12²=13²=AB²，
∴∠ACB=90°。
∵D是AB中点，
∴CD=AB/2=13/2=6.5 cm。

7. 在矩形ABCD中，点E、F均在AD上，且AE=DF，求证：BF=CE.

答案： 证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠D=90°。
∵AE=DF，
∴AF=AD-DF=AD-AE=DE。在△ABF和△DCE中，{AB=CD，∠A=∠D，AF=DE}，
∴△ABF≌△DCE(SAS)，
∴BF=CE。

8. 在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F.
(1)求证：DF=AB；
(2)若∠FDC=30°，且AB=4,求AD.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠B=90°，
∴∠AEB=∠DAF。
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°=∠B。
∵AE=AD，
∴△ABE≌△DFA(AAS)，
∴DF=AB。
(2)8
解析：
(2)
∵∠FDC=30°，∠ADC=90°，
∴∠ADF=60°。
∵∠AFD=90°，
∴∠DAF=30°。
∵DF=AB=4，在Rt△ADF中，AD=2DF=8。

9. 如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD=CE.求证：(1)点D在BE的垂直平分线上；(2)∠BEC=3∠ABE.

答案：
(1)证明：
∵BE是中线，
∴AE=CE。
∵BD=CE，
∴BD=AE。
∵CD是高，∠ADC=90°，
∴DE=AE=CE（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴DE=BD，
∴点D在BE的垂直平分线上。
(2)证明：设∠ABE=x，
∵DE=BD，
∴∠DEB=∠ABE=x，
∴∠AED=∠ABE+∠DEB=2x。
∵AE=DE，
∴∠A=∠AED=2x，
∴∠BEC=∠A+∠ABE=2x+x=3x=3∠ABE。