《2025年初中数学课堂导学案八年级下册人教版》

2. 求证：有三个角是直角的四边形是矩形.已知：如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.求证：四边形ABCD是矩形.

答案： 证明：
∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，
∴AD//BC，AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵∠A=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形。

3. 如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E、F分别是△ABC三边上的中点.求证：四边形CEDF是矩形.

答案： 证明：
∵D、E、F分别是中点，
∴DE//BC，DF//AC（三角形中位线定理），
∴四边形CEDF是平行四边形。
∵∠C=90°，
∴平行四边形CEDF是矩形。

4. (2023年广州市花都区期末)如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=6，将边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE交BC于点F，连接AC、BE.
(1)求证：四边形ABEC是平行四边形；
(2)若AE=AD，求四边形ABEC的周长.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD。
∵CE=DC，
∴AB=CE，AB//CE，
∴四边形ABEC是平行四边形。
(2)18
解析：
(2)
∵AD=BC=6，AE=AD=6，四边形ABEC是平行四边形，
∴周长=2×(AB+AE)=2×(3+6)=18。

5. 求证：两条对角线相等的平行四边形是矩形.

答案： 已知：□ABCD中，AC=BD。求证：□ABCD是矩形。
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC。在△ABC和△DCB中，{AB=CD，BC=CB，AC=BD}，
∴△ABC≌△DCB(SSS)，
∴∠ABC=∠DCB。
∵AB//CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠ABC=90°，
∴□ABCD是矩形。

6. (2024年广州市番禺区期末)如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，EO=FO，DF//BE.
(1)求证：△BOE≌△DOF；
(2)当AC=2OD时，证明四边形ABCD是矩形.

答案：
(1)证明：
∵DF//BE，
∴∠OBE=∠ODF。
∵∠BOE=∠DOF，EO=FO，
∴△BOE≌△DOF(AAS)。
(2)证明：由
(1)得OB=OD，
∵O是AC中点，
∴OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵AC=2OD，BD=2OD，
∴AC=BD，
∴□ABCD是矩形。

7. 如图所示，P是□ABCD外一点，且AP⊥PC，BP⊥DP.求证：四边形ABCD是矩形.

答案： 证明：连接AC、BD交于点O。
∵AP⊥PC，
∴△APC是直角三角形，
∴OA=OC=OP=AC/2（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。同理，BP⊥DP，OB=OD=OP=BD/2，
∴AC=BD，
∴□ABCD是矩形。